Исследовать функцию на экстремум y= x^4 - 2x^2

Для исследования функции $y=x^4-2x^2$ на экстремумы воспользуемся стандартным алгоритмом дифференциального исчисления. 1. Область определения Функция является многочленом, поэтому она определена и непрерывна на всей числовой прямой: $D\left(y\right)=(-\infty ;+\infty )$. 2. Поиск критических точек Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, в которых наклон касательной равен нулю.

1. Вычисляем производную:
   $y^{\prime }=(x^4-2x^2{)}^{\prime }=4x^3-4x$ Приравниваем к нулю:
   $4x^3-4x=0$ $4x(x^2-1)=0$ $4x(x-1)(x+1)=0$ Корни уравнения (критические точки):
   • $x_1=-1$ $x_2=0$ $x_3=1$

3. Определение знаков производной Разбиваем числовую ось на интервалы найденными точками и проверяем знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

4. Определение точек экстремума и их значений Используя достаточный признак экстремума (смена знака производной):

• Точка минимума $x=-1$: производная меняет знак с « $-$» на « $+$».
  $y\left(-1\right)=(-1{)}^4-2(-1{)}^2=1-2=-1$ Точка максимума $x=0$: производная меняет знак с « $+$» на « $-$».
  $y\left(0\right)=0^4-2(0{)}^2=0$ Точка минимума $x=1$: производная меняет знак с « $-$» на « $+$».
  $y\left(1\right)=1^4-2(1{)}^2=1-2=-1$

Резюме исследования

• Минимумы: функции достигаются в точках $(-1;-1)$ и $(1;-1)$. Максимум: функции достигается в точке $(0;0)$.

Я могу также найти точки перегиба этой функции и исследовать её на выпуклость, если это необходимо для построения графика.