Лог(5x -9) по основанию 2 меньше или равно лог(3x+1) по основанию 2

Для решения неравенства ${\log }_2(5x-9)\le {\log }_2(3x+1)$ необходимо выполнить три основных шага: определить область допустимых значений (ОДЗ), решить само неравенство с учетом свойств логарифма и найти пересечение этих условий. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Поэтому составим систему неравенств:

1. $5x-9>0⟹5x>9⟹x>1.8$ $3x+1>0⟹3x>-1⟹x>-\frac{1}{3}$

Общим решением для ОДЗ является интервал: $x>1.8$. 2. Решение логарифмического неравенства Так как основания логарифмов равны и больше единицы ( $2>1$), функция является возрастающей. Это позволяет нам перейти к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства: $5x-9\le 3x+1$Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные числа — в правую:

• $5x-3x\le 1+9$ $2x\le 10$ $x\le 5$

3. Пересечение условий Объединим полученное решение с ограничениями из ОДЗ:

• Условие от логарифмов: $x\le 5$ Условие ОДЗ: $x>1.8$

Запишем итоговый интервал: $1.8<x\le 5$Или в виде промежутка: $x\in (1.8;5]$ Ответ: $(1.8;5]$ Хотите, я помогу составить аналогичный алгоритм решения для логарифмического неравенства, где основание меньше единицы?