Исследовать и построить график функций у=х^3+3х^2+3х+1

Для полного исследования функции $y=x^3+3x^2+3x+1$ и построения её графика воспользуемся методами дифференциального исчисления. 1. Область определения и общие свойства

• Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$ или $(-\infty ;+\infty )$. Четность/нечетность:
  $f(-x)=(-x{)}^3+3(-x{)}^2+3(-x)+1=-x^3+3x^2-3x+1$.
  Так как $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$, функция ни четная, ни нечетная. Упрощение вида функции: Заметим, что выражение представляет собой формулу куба суммы:
  $y=(x+1{)}^3$.
  Это значительно упрощает дальнейший анализ.

2. Точки пересечения с осями координат

• С осью $OY$ (при $x=0$):
  $y=0^3+3\cdot 0^2+3\cdot 0+1=1$. Точка $(0;1)$. С осью $OX$ (при $y=0$):
  $(x+1{)}^3=0x+1=0x=-1$. Точка $(-1;0)$.

3. Исследование с помощью первой производной Найдем производную функции для определения промежутков монотонности и экстремумов: $y^{\prime }=(x^3+3x^2+3x+1{)}^{\prime }=3x^2+6x+3$. Приравняем производную к нулю: $3(x^2+2x+1)=0$ $3(x+1{)}^2=0$ $x=-1$.

• Интервалы монотонности: Поскольку $(x+1{)}^2\ge 0$ для любого $x$, то $y^{\prime }\ge 0$ на всей области определения. Вывод: Функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Точек экстремума (максимумов или минимумов) нет.

4. Исследование с помощью второй производной Найдем вторую производную для определения выпуклости и точек перегиба: $y^{\prime \prime }=(3x^2+6x+3{)}^{\prime }=6x+6$. Приравняем вторую производную к нулю: $6(x+1)=0x=-1$.

Значение функции в точке перегиба: $y\left(-1\right)=0$. Точка $(-1;0)$ является точкой перегиба. 5. Асимптоты и поведение на бесконечности

• Вертикальных асимптот нет, так как функция определена везде.
• Наклонных асимптот нет, так как предел $\underset{x\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\infty$ . Поведение на бесконечности:
  $\underset{x+\infty }{\lim }(x+1{)}^3=+\infty$
  $\underset{x-\infty }{\lim }(x+1{)}^3=-\infty$

6. Сводная таблица для построения графика

Описание графика График представляет собой стандартную кубическую параболу $y=x^3$, смещенную на 1 единицу влево вдоль оси $OX$. В точке $(-1,0)$ график касается оси абсцисс, меняя направление кривизны (перегиб), и уходит из левого нижнего угла в правый верхний. Я могу составить таблицу значений функции для более точного построения по точкам в выбранном вами диапазоне. Хотите, чтобы я это сделал?