Найдите точку максимума функции y = x ^ 3 - 75x + 11

Точкой максимума функции $y=x^3-75x+11$ является $x=-5$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её производную по переменной $x$. Используя правила дифференцирования степенной функции, получаем: $y^{\prime }=(x^3-75x+11{)}^{\prime }=3x^2-75$Шаг 2: Нахождение критических точек Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $3x^2-75=0$Разделим обе части уравнения на $3$: $x^2-25=0$ $x^2=25$Отсюда получаем две критические точки: $x_1=5,x_2=-5$Шаг 3: Определение знаков производной и поиск точки максимума Для определения характера экстремума проанализируем знак производной $y^{\prime }=3(x-5)(x+5)$ на числовой прямой:

1. На интервале $(-\infty ;-5)$ выберем $x=-6$: $y^{\prime }\left(-6\right)=3(-6{)}^2-75=108-75=33>0$. Функция возрастает. На интервале $(-5;5)$ выберем $x=0$: $y^{\prime }\left(0\right)=3(0{)}^2-75=-75<0$. Функция убывает. На интервале $(5;+\infty )$ выберем $x=6$: $y^{\prime }\left(6\right)=3(6{)}^2-75=33>0$. Функция возрастает.

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке $x=-5$. Ответ: x = -5 Хотите ли вы также найти максимальное значение функции в этой точке или исследовать её на интервалы вогнутости?