Решите уравнение: √(x + 11) = x - 1

Для решения уравнения $\sqrt{x+11}=x-1$ необходимо выполнить возведение в квадрат, учитывая область допустимых значений и условия существования решения. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел: $x+11\ge 0⟹x\ge -11$2. Условие возведения в квадрат Левая часть уравнения ( $\sqrt{x+11}$ ) всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной для наличия решений: $x-1\ge 0⟹x\ge 1$3. Решение уравнения Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+11}{)}^2=(x-1{)}^2$ $x+11=x^2-2x+1$Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2-3x-10=0$Для решения воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом $D$: $D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49$ $\sqrt{D}=7$ Находим корни: $x_1=\frac{3+7}{2}=5$ $x_2=\frac{3-7}{2}=-2$ 4. Проверка корней Сопоставим полученные значения с условием $x\ge 1$:

1. $x_1=5$: Подходит ( $5\ge 1$).
   • Проверка: $\sqrt{5+11}=5-1⟹\sqrt{16}=4⟹4=4$ . (Верно)
   $x_2=-2$: Не подходит ( $-2<1$). Это посторонний корень, возникший при возведении в квадрат.
   • Проверка: $\sqrt{-2+11}=-2-1⟹\sqrt{9}=-3⟹3\ne -3$ . (Неверно)

Ответ: $x=5$. Хотите, чтобы я подготовил для вас аналогичный пример для закрепления темы или разобрал решение более сложного иррационального уравнения?