Исследуйте функцию у = x3 +6х и постройте ее график.

Функция $y=x^3+6x$ определена на всей числовой прямой, является нечетной, монотонно возрастает на всей области определения и имеет точку перегиба в начале координат $(0,0)$. Шаг 1: Область определения и четность Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$. Для проверки на четность вычислим $f(-x)$: $f(-x)=(-x{)}^3+6(-x)=-x^3-6x=-(x^3+6x)=-f(x)$. Так как $f(-x)=-f\left(x\right)$, функция является нечетной, а ее график симметричен относительно начала координат. Шаг 2: Точки пересечения с осями Найдем точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y=0$: $x^3+6x=0⟹x(x^2+6)=0$. Поскольку $x^2+6>0$ для любых $x$, единственным корнем является $x=0$. График пересекает оси координат только в точке $(0,0)$. Шаг 3: Монотонность и экстремумы Найдем производную функции: $y^{\prime }=3x^2+6$. Приравняем производную к нулю: $3x^2+6=0⟹x^2=-2$. Уравнение не имеет действительных корней. Так как производная $y^{\prime }=3x^2+6>0$ для всех $x$, функция строго возрастает на всей области определения. Локальных экстремумов нет. Шаг 4: Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=6x$. Приравняем вторую производную к нулю: $6x=0⟹x=0$. При $x<0$ вторая производная $y^{\prime \prime }<0$ (функция выпукла вверх). При $x>0$ вторая производная $y^{\prime \prime }>0$ (функция выпукла вниз). Следовательно, точка $(0,0)$ является точкой перегиба. Шаг 5: Поведение на бесконечности и график При $x+\infty$, $y+\infty$. При $x-\infty$, $y-\infty$. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через начало координат, которая всегда направлена вверх и становится круче при увеличении $\left|x\right|$. Для построения можно использовать дополнительные точки: $f\left(1\right)=7,f\left(-1\right)=-7,f\left(2\right)=20,f\left(-2\right)=-20$. Ответ: Исследование показало, что $y=x^3+6x$ — нечетная возрастающая функция без экстремумов с точкой перегиба (0, 0). График проходит через начало координат из третьей четверти в первую. Нужно ли вам рассчитать конкретные значения функции для построения более точного эскиза по точкам?