Исследовать на экстремум, найти точки перегиба и построить график функции, а также составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, где x(0) = 1 y=(x^4)-4*(x^2)+5

Для исследования функции $y=x^4-4x^2+5$ проведем последовательный математический анализ. 1. Исследование на экстремумы Для поиска точек экстремума найдем первую производную и приравняем ее к нулю: $y^{\prime }=(x^4-4x^2+5{)}^{\prime }=4x^3-8x$Найдем критические точки: $4x(x^2-2)=0$Отсюда получаем три корня: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt{2}$ , $x_3=\sqrt{2}$ . Определим знаки производной на интервалах:

• $(-\infty ;-\sqrt{2})$ : $y^{\prime }<0$ (функция убывает) $(-\sqrt{2};0)$ : $y^{\prime }>0$ (функция возрастает) $(0;\sqrt{2})$ : $y^{\prime }<0$ (функция убывает) $(\sqrt{2};+\infty )$ : $y^{\prime }>0$ (функция возрастает)

Координаты экстремумов:

• Минимум: $x=\pm \sqrt{2}\approx \pm 1.41$ . Вычислим $y$: $(\pm \sqrt{2}{)}^4-4(\pm \sqrt{2}{)}^2+5=4-8+5=1$ .
  Точки: $(-\sqrt{2},1)$ и $(\sqrt{2},1)$ . Максимум: $x=0$. Вычислим $y$: $0^4-4(0{)}^2+5=5$.
  Точка: $(0,5)$.

2. Поиск точек перегиба Для поиска точек перегиба найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(4x^3-8x{)}^{\prime }=12x^2-8$Приравняем вторую производную к нулю: $12x^2=8⟹x^2=\frac{2}{3}⟹x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\approx \pm 0.82$ Вычислим значения функции в этих точках: $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4\left(\frac{2}{3}\right)+5=\frac{4}{9}-\frac{8}{3}+5=\frac{4-24+45}{9}=\frac{25}{9}\approx 2.78$ Точки перегиба: $(\sqrt{2/3},25/9)$ и $(-\sqrt{2/3},25/9)$ . На интервале $(-\sqrt{2/3},\sqrt{2/3})$ график выпуклый вверх ( $y^{\prime \prime }<0$), вне его — выпуклый вниз. 3. Уравнения касательной и нормали По условию точка касания имеет абсциссу $x_0=1$.

1. Значение функции: $y\left(1\right)=1^4-4(1{)}^2+5=2$. Значение производной: $y^{\prime }\left(1\right)=4(1{)}^3-8(1)=-4$.

Уравнение касательной: $y-y_0=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$ $y-2=-4(x-1)⟹\mathbf{y}\mathbf{=}-4\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{6}$Уравнение нормали: $y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }\left(x_0\right)}(x-x_0)$ $y-2=\frac{1}{4}(x-1)⟹y=0.25x-0.25+2⟹\mathbf{y}\mathbf{=}0.25\mathbf{x}\mathbf{+}1.75$ 4. Сводные данные для построения графика

Вид графика: График напоминает букву «W». Он плавно опускается из бесконечности слева к точке $(-1.41,1)$, поднимается к локальному пику $(0,5)$, снова опускается к $(1.41,1)$ и уходит в бесконечность вправо. Я могу составить таблицу значений функции для более точного построения графика по точкам. Хотите, чтобы я это сделал?