Исследуйте функцию y= x/2+2/x

Для проведения полного исследования функции $y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$ воспользуемся стандартным алгоритмом математического анализа. 1. Область определения и общие свойства

• Область определения ( $D\left(y\right)$): Функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю. Следовательно, $x\ne 0$.
  $D\left(y\right)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$. Четность: Проверим условие $f(-x)$:
  $f(-x)=\frac{-x}{2}+\frac{2}{-x}=-(\frac{x}{2}+\frac{2}{x})=-f\left(x\right)$ .
  Функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат. Точки пересечения с осями:
  • С осью $Oy$: Пересечений нет, так как $x\ne 0$. С осью $Ox$: $\frac{x}{2}+\frac{2}{x}=0\frac{x^2+4}{2x}=0$ . Уравнение $x^2+4=0$ не имеет действительных корней. График не пересекает ось $Ox$.

2. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: Так как $\underset{x{0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ и $\underset{x{0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Наклонная асимптота: Ищем в виде $y=kx+b$.
  $k=\underset{x\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\infty }{\lim }(\frac{1}{2}+\frac{2}{x^2})=\frac{1}{2}$ .
  $b=\underset{x\infty }{\lim }\left(f\right(x)-kx)=\underset{x\infty }{\lim }(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}-\frac{x}{2})=0$ .
  Уравнение наклонной асимптоты: $y=\frac{1}{2}x$ .

3. Исследование с помощью первой производной Найдем производную функции: $y^{\prime }=(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-4}{2x^2}$ . Приравняем к нулю для поиска критических точек: $x^2-4=0x_1=-2,x_2=2$. Интервалы монотонности:

• $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(-2;0)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(0;2)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Точки экстремума:

• $x_{max}=-2$; $y\left(-2\right)=-1-1=-2$. Точка максимума: $(-2;-2)$. $x_{min}=2$; $y\left(2\right)=1+1=2$. Точка минимума: $(2;2)$.

4. Исследование с помощью второй производной Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=(\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}{)}^{\prime }=\frac{4}{x^3}$ . Выпуклость и точки перегиба:

• $y^{\prime \prime }\ne 0$ на всей области определения (точек перегиба нет). $(-\infty ;0)$: $y^{\prime \prime }<0$ — график функции выпуклый вверх. $(0;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ — график функции выпуклый вниз (вогнутый).

5. Сводная таблица характерных значений

Итог: График представляет собой гиперболу, расположенную в I и III четвертях, "зажатую" между вертикальной осью $y$ и прямой $y=0.5x$. Я могу построить график этой функции в виде изображения или рассчитать значения в конкретных точках. Желаете продолжить?