Как можно узнать , является число простым или нет?

Определение того, является ли число простым, зависит от величины самого числа и требуемой точности (нужен ли нам гарантированный результат или достаточно высокой вероятности). Ниже приведены основные методы: от простых ручных способов до алгоритмов, используемых в программировании. 1. Определение через деление (Метод перебора делителей) Это самый надежный способ для небольших чисел. Число $n$ является простым, если оно больше 1 и не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя.

• Базовая проверка: Попробуйте разделить число $n$ последовательно на все целые числа от 2 до $n-1$. Если ни одно не делит $n$ нацело, число простое. Оптимизация (Квадратный корень): Нет необходимости проверять делители вплоть до $n$. Достаточно проверить числа до $\sqrt{n}$ включительно. Если у числа есть делитель, больший квадратного корня, то обязательно должен быть и соответствующий ему парный делитель, меньший квадратного корня. Оптимизация (Четность): Сначала проверьте, делится ли число на 2. Если нет, то все остальные четные делители (4, 6, 8...) можно пропустить, проверяя только нечетные числа.

2. Признаки делимости Для быстрой ручной проверки полезно знать базовые правила:

• На 2: Число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
• На 3: Сумма цифр числа делится на 3.
• На 5: Число заканчивается на 0 или 5.

Если число проходит эти тесты (и не равно 2, 3 или 5), оно потенциально простое. 3. Решето Эратосфена Если вам нужно найти все простые числа в определенном диапазоне (например, от 1 до 100), этот метод наиболее эффективен:

1. Выпишите все числа от 2 до выбранного предела.
2. Зачеркните все числа, кратные 2 (кроме самой двойки).
3. Возьмите следующее незачеркнутое число (это будет 3) и зачеркните все кратные ему.
4. Повторяйте процесс для каждого следующего незачеркнутого числа.
5. Все оставшиеся числа будут простыми.

4. Вероятностные тесты (Для очень больших чисел) Для чисел, состоящих из сотен знаков, метод перебора делителей слишком медленный. В криптографии используют тесты, которые с очень высокой вероятностью определяют, является ли число простым.

• Малая теорема Ферма: Если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ выполняется условие:
  $a^{p-1}\equiv 1\left(\mathrm{mod}p\right)$Если условие не выполняется, число гарантированно составное. Если выполняется, оно "вероятно простое". Тест Миллера — Рабина: Более совершенный вариант теста Ферма, который практически исключает ошибки и используется в большинстве современных вычислительных систем.

Таблица сравнения методов

Я могу составить для вас список простых чисел в заданном диапазоне или написать код на Python для автоматической проверки любого введенного числа. Хотите, чтобы я подготовил такой скрипт?