Как возвести дробь в дробную степень, например 1/8 в степени 3/4

Возведение дроби в дробную степень — это процесс, состоящий из трех основных этапов: возведение в числитель степени, извлечение корня, определяемого знаменателем степени, и применение этих действий к обеим частям дроби. Для решения примера $(\frac{1}{8}{)}^{3/4}$ воспользуемся следующими правилами. Основные правила

1. Дробная степень как корень: Число в степени $m/n$ — это корень $n$-й степени из числа в степени $m$.
   $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ Степень дроби: При возведении дроби в степень в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель.
   $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Пошаговое решение примера $(\frac{1}{8}{)}^{3/4}$ Шаг 1: Представление в виде корня Перепишем выражение, используя определение дробной степени: $(\frac{1}{8}{)}^{3/4}=\sqrt[4]{(\frac{1}{8}{)}^3}$ Шаг 2: Возведение в третью степень (числитель степени) Возведем отдельно числитель и знаменатель в куб:

• $1^3=1$ $8^3=8\cdot 8\cdot 8=512$
  Получаем: $\sqrt[4]{\frac{1}{512}}$

Шаг 3: Извлечение корня четвертой степени (знаменатель степени) Теперь нужно извлечь корень четвертой степени из числителя и знаменателя: $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{512}}$

• $\sqrt[4]{1}=1$ Для $\sqrt[4]{512}$ : разложим 512 на множители. $512=2^9$.
  $\sqrt[4]{2^9}=2^{9/4}=2^2\cdot 2^{1/4}=4\sqrt[4]{2}$

Итоговый результат: $(\frac{1}{8}{)}^{3/4}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}$ Альтернативный (быстрый) способ через степени двойки Иногда проще сначала представить основание как степень простого числа:

1. Представим $1/8$ как $2^{-3}$. Применим правило перемножения степеней $(a^x{)}^y=a^{x\cdot y}$:
   $(2^{-3}{)}^{3/4}=2^{-3\cdot \frac{3}{4}}=2^{-9/4}$ Переведем обратно в положительную дробную степень:
   $2^{-9/4}=\frac{1}{2^{9/4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{2^9}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}$

Резюме Чтобы возвести дробь в дробную степень:

• Возведите числитель и знаменатель в степень, указанную в числителе показателя.
• Извлеките корень, степень которого указана в знаменателе показателя.
• Если возможно, упростите основание (приведите к степени 2, 3 или 5) перед началом вычислений.

Я могу составить таблицу часто встречающихся дробных степеней для чисел от 1 до 10, если вам это потребуется.