Сравните (1/3)^√2 и (1/3)^√3

Для сравнения чисел $(1/3{)}^{\sqrt{2}}$ и $(1/3{)}^{\sqrt{3}}$ необходимо проанализировать свойства показательной функции $f\left(x\right)=a^x$. 1. Анализ основания степени В данном случае основание степени $a=1/3$. Согласно свойствам показательной функции:

• Если $a>1$, функция является возрастающей. Если $0<a<1$, функция является убывающей.

Так как $0<1/3<1$, функция $f\left(x\right)=(1/3{)}^x$ монотонно убывает на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $f\left(x\right)$. 2. Сравнение показателей Теперь сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ . Поскольку функция извлечения квадратного корня $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для положительных чисел: $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ 3. Итоговое сравнение Применим свойство убывающей функции к нашим значениям:

• У нас есть аргументы $x_1=\sqrt{2}$ и $x_2=\sqrt{3}$ . Мы установили, что $x_1<x_2$. Для убывающей функции $f\left(x\right)$, если $x_1<x_2$, то $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Следовательно: $(1/3{)}^{\sqrt{2}}>(1/3{)}^{\sqrt{3}}$ Ответ: $(1/3{)}^{\sqrt{2}}$ больше, чем $(1/3{)}^{\sqrt{3}}$ . Я могу помочь вам с решением других задач на сравнение степеней или логарифмов. Хотите рассмотреть пример с разными основаниями?