Найдите точку минимума функции y = 4x-4ln(x+7) + 6

Точка минимума функции $y=4x-4\ln (x+7)+6$ равна -6. ️ Шаг 1: Определение области допустимых значений Поскольку аргумент натурального логарифма должен быть строго больше нуля, составим неравенство: $x+7>0⟹x>-7$ Область определения функции: $D\left(y\right)=(-7,+\infty )$. ️ Шаг 2: Нахождение производной функции Для поиска экстремумов вычислим производную функции $y=4x-4\ln (x+7)+6$ по переменной $x$: $y^{\prime }=4-4\cdot \frac{1}{x+7}=4-\frac{4}{x+7}$ ️ Шаг 3: Поиск критических точек Приравняем производную к нулю для нахождения точек, в которых наклон касательной равен нулю: $4-\frac{4}{x+7}=0$ $\frac{4}{x+7}=4$ $x+7=1$ $x=-6$ Полученная точка $x=-6$ входит в область определения функции. ️ Шаг 4: Проверка характера критической точки Определим знаки производной на интервалах, разделенных точкой $-6$:

1. На интервале $(-7,-6)$: возьмем $x=-6,5$. Тогда $y^{\prime }=4-\frac{4}{0,5}=4-8=-4<0$ . Функция убывает. На интервале $(-6,+\infty )$: возьмем $x=0$. Тогда $y^{\prime }=4-\frac{4}{7}>0$ . Функция возрастает.

Так как при переходе через точку $x=-6$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Ответ: -6 Требуется ли вам найти минимальное значение этой функции на каком-либо конкретном отрезке?