Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x²-1 y=2x+2

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 32/3 (или примерно 10.67) квадратных единиц. ️ Шаг 1: Нахождение точек пересечения Для определения пределов интегрирования необходимо найти значения $x$, при которых функции пересекаются. Приравняем уравнения кривых: $x^2-1=2x+2$ Перенесем все члены в левую часть: $x^2-2x-3=0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

1. $D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$ $x_1=\frac{2-4}{2}=-1$ $x_2=\frac{2+4}{2}=3$

Точки пересечения: $x=-1$ и $x=3$. ️ Шаг 2: Определение функции для интегрирования На интервале $[-1,3]$ прямая $y=2x+2$ расположена выше параболы $y=x^2-1$ (это можно проверить, подставив любое число из интервала, например $x=0$: $2>-1$). Следовательно, искомая площадь $S$ вычисляется как интеграл разности: $S={\int }_{-1}^3\left(\right(2x+2)-(x^2-1\left)\right)dx={\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)dx$️ Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Найдем первообразную и вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница: $\int (-x^2+2x+3)dx=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x$ Подставим пределы:

1. При $x=3$: $-\frac{27}{3}+9+9=-9+9+9=9$ При $x=-1$: $-\frac{(-1{)}^3}{3}+(-1{)}^2+3(-1)=\frac{1}{3}+1-3=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}$

Вычтем результаты: $S=9-(-\frac{5}{3})=9+\frac{5}{3}=\frac{27+5}{3}=\frac{32}{3}$ Ответ: Площадь фигуры составляет 32/3 или 10 \frac{2}{3} (приблизительно 10.67). Сообщите, требуется ли вам графическое построение данных функций для визуализации области интегрирования.