Lim n стремится к бесконечности ( n ^2+ 5n + 4 ) / ( n + 2 ) должно дать бесконечность

Для вычисления предела последовательности при $n\infty$ необходимо проанализировать степени многочленов в числителе и знаменателе. Пошаговое решение 1. Исходное выражение: $\underset{n\infty }{\lim }\frac{n^2+5n+4}{n+2}$ 2. Выделение главной части: Наивысшая степень в числителе — $n^2$, а в знаменателе — $n^1$. Чтобы определить поведение дроби на бесконечности, разделим каждое слагаемое в числителе и знаменателе на $n$ (наивысшую степень знаменателя): $\underset{n\infty }{\lim }\frac{\frac{n^2}{n}+\frac{5n}{n}+\frac{4}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{2}{n}}=\underset{n\infty }{\lim }\frac{n+5+\frac{4}{n}}{1+\frac{2}{n}}$ 3. Анализ пределов отдельных слагаемых: При $n\infty$ величины $\frac{4}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю:

• $\frac{4}{n}0$ $\frac{2}{n}0$

Подставим эти значения в выражение: $\frac{\infty +5+0}{1+0}=\frac{\infty }{1}=\infty$ Альтернативный способ (выделение целой части) Можно разделить многочлен в числителе на многочлен в знаменателе «уголком» или сгруппировать слагаемые: $\frac{n^2+5n+4}{n+2}=\frac{n^2+2n+3n+6-2}{n+2}=\frac{n(n+2)+3(n+2)-2}{n+2}$ $\frac{(n+3)(n+2)-2}{n+2}=n+3-\frac{2}{n+2}$ При $n\infty$:

• Слагаемое $(n+3)$ стремится к $+\infty$. Слагаемое $\frac{2}{n+2}$ стремится к $0$.

Следовательно: $\underset{n\infty }{\lim }(n+3-\frac{2}{n+2})=\infty$ Вывод Так как степень числителя ( $2$) выше степени знаменателя ( $1$), дробь растет неограниченно. Предел равен бесконечности. Я могу также построить график этой функции или найти наклонную асимптоту для данного выражения, если это необходимо.