Log 0.25(x^2+3x)<=-1

Для решения неравенства ${\log }_{0.25}(x^2+3x)\le -1$ необходимо учитывать свойства логарифмической функции и область допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2+3x>0$Разложим на множители: $x(x+3)>0$Корни уравнения $x(x+3)=0$ — это $x=0$ и $x=-3$. Используя метод интервалов, получаем: ОДЗ: $x\in (-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$ 2. Решение неравенства Преобразуем правую часть неравенства в логарифм по основанию $0.25$: $-1={\log }_{0.25}\left({0.25}^{-1}\right)={\log }_{0.25}\left(4\right)$Теперь неравенство выглядит так: ${\log }_{0.25}(x^2+3x)\le {\log }_{0.25}\left(4\right)$Так как основание логарифма $a=0.25$ меньше единицы ( $0<0.25<1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x^2+3x\ge 4$3. Решение квадратного неравенства Перенесем все члены в левую часть: $x^2+3x-4\ge 0$Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+3x-4=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-3$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-4$ Корни: $x_1=-4$, $x_2=1$

Парабола ветвями вверх, следовательно, выражение $\ge 0$ на внешних промежутках: $x\in (-\infty ;-4]\cup [1;+\infty )$ 4. Сопоставление с ОДЗ Необходимо найти пересечение полученного решения и ОДЗ:

1. Решение: $x\in (-\infty ;-4]\cup [1;+\infty )$ ОДЗ: $x\in (-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$

Интервал $(-\infty ;-4]$ полностью входит в $(-\infty ;-3)$. Интервал $[1;+\infty )$ полностью входит в $(0;+\infty )$. Ответ: $x\in (-\infty ;-4]\cup [1;+\infty )$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать систему неравенств с логарифмами. Хотите продолжить?