В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,9, для велосипедиста - 0,8 и для бегуна - 0,75. спортсмен, выбранный наудачу, выполнил норму. какова вероятность того, что он - велосипедист?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса. Нам необходимо найти вероятность того, что событие (выполнение нормы) было вызвано конкретной причиной (спортсмен является велосипедистом). 1. Определение гипотез и их вероятностей Пусть событие $A$ — спортсмен выполнил квалификационную норму. Всего в группе $20+6+4=30$ спортсменов. Введем гипотезы:

• $H_1$: Выбран лыжник. Вероятность $P\left(H_1\right)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$ $H_2$: Выбран велосипедист. Вероятность $P\left(H_2\right)=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}=0,2$ $H_3$: Выбран бегун. Вероятность $P\left(H_3\right)=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$

2. Условные вероятности события A Вероятности выполнения нормы для каждой группы (даны в условии):

• $P\left(A\right|H_1)=0,9$ (для лыжника) $P\left(A\right|H_2)=0,8$ (для велосипедиста) $P\left(A\right|H_3)=0,75$ (для бегуна)

3. Полная вероятность выполнения нормы Сначала вычислим общую вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норму, по формуле полной вероятности: $P\left(A\right)=P\left(H_1\right)\cdot P\left(A\right|H_1)+P(H_2)\cdot P(A\left|H_2\right)+P\left(H_3\right)\cdot P\left(A\right|H_3)$Подставим значения: $P\left(A\right)=(\frac{2}{3}\cdot 0,9)+(0,2\cdot 0,8)+(\frac{2}{15}\cdot 0,75)$ $P\left(A\right)=0,6+0,16+0,1=0,86$4. Применение формулы Байеса Теперь найдем вероятность того, что норму выполнил именно велосипедист: $P\left(H_2\right|A)=\frac{P\left(H_2\right)\cdot P\left(A\right|H_2)}{P\left(A\right)}$ Подставим рассчитанные данные: $P\left(H_2\right|A)=\frac{0,2\cdot 0,8}{0,86}=\frac{0,16}{0,86}=\frac{16}{86}=\frac{8}{43}$ Ответ: Вероятность того, что спортсмен, выполнивший норму, является велосипедистом, составляет $\frac{8}{43}$ (приблизительно 0,186 или 18,6%). Хотите, чтобы я рассчитал вероятности для лыжника и бегуна для сравнения?