Log12/11log1/2(x2+3x-4)<=0

Для решения неравенства ${\log }_{12/11}\left({\log }_{1/2}\right(x^2+3x-4\left)\right)\le 0$ необходимо последовательно раскрыть логарифмы, учитывая их основания и область допустимых значений (ОДЗ). 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных аргументов:

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x^2+3x-4>0$. Аргумент внешнего логарифма: ${\log }_{1/2}(x^2+3x-4)>0$.

Решим эти условия:

• $x^2+3x-4>0$: Корни уравнения $x^2+3x-4=0$ по теореме Виета равны $x_1=-4$ и $x_2=1$. Неравенство выполняется при $x\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$. ${\log }_{1/2}(x^2+3x-4)>0$: Представим $0$ как ${\log }_{1/2}1$. Так как основание $1/2<1$, при снятии логарифма знак меняется: $x^2+3x-4<1$.
  • $x^2+3x-5<0$. Корни: $x=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{2}$ . Решение: $x\in (\frac{-3-\sqrt{29}}{2};\frac{-3+\sqrt{29}}{2})$ .

Пересечение условий ОДЗ: Примерные значения: $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}\approx -4.19$ и $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}\approx 1.19$ . Итоговое ОДЗ: $x\in (\frac{-3-\sqrt{29}}{2};-4)\cup (1;\frac{-3+\sqrt{29}}{2})$ . 2. Решение основного неравенства ${\log }_{12/11}\left({\log }_{1/2}\right(x^2+3x-4\left)\right)\le 0$. Так как основание внешнего логарифма $12/11>1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: ${\log }_{1/2}(x^2+3x-4)\le (12/11{)}^0$ ${\log }_{1/2}(x^2+3x-4)\le 1$. Теперь снимаем внутренний логарифм. Так как основание $1/2<1$, знак неравенства меняется на противоположный: $x^2+3x-4\ge (1/2{)}^1$ $x^2+3x-4\ge 0.5$ $x^2+3x-4.5\ge 0$ $2x^2+6x-9\ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2+6x-9=0$: $D=6^2-4\cdot 2\cdot \left(-9\right)=36+72=108=(6\sqrt{3}{)}^2$ . $x=\frac{-6\pm 6\sqrt{3}}{4}=\frac{-3\pm 3\sqrt{3}}{2}$ . Решение этого квадратного неравенства: $x\in (-\infty ;\frac{-3-3\sqrt{3}}{2}]\cup [\frac{-3+3\sqrt{3}}{2};+\infty )$ . 3. Пересечение с ОДЗ Сравним граничные точки:

• $\frac{-3-3\sqrt{3}}{2}\approx \frac{-3-5.19}{2}\approx -4.095$ . Это число входит в левый интервал ОДЗ. $\frac{-3+3\sqrt{3}}{2}\approx \frac{-3+5.19}{2}\approx 1.095$ . Это число входит в правый интервал ОДЗ.

Сравнение с границами ОДЗ: $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}\approx -4.19<-4.095<-4$ $1<1.095<\frac{-3+\sqrt{29}}{2}\approx 1.19$ Ответ: $x\in (\frac{-3-\sqrt{29}}{2};\frac{-3-3\sqrt{3}}{2}]\cup [\frac{-3+3\sqrt{3}}{2};\frac{-3+\sqrt{29}}{2})$ . Нужно ли проверить вычисления дискриминанта или помочь с графической интерпретацией решения?