Чему равен радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник меньшая диагональ которого равна 12 см

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть геометрические свойства правильного шестиугольника и связь его диагоналей с радиусом вписанной окружности. 1. Анализ свойств шестиугольника В правильном шестиугольнике со стороной $a$ существуют два типа диагоналей:

• Большая диагональ: проходит через центр и равна $2a$. Меньшая диагональ ( $d$): соединяет вершины через одну. Она образует с двумя сторонами шестиугольника равнобедренный треугольник с углом ${120}^{\circ }$.

Формула малой диагонали через сторону шестиугольника: $d=a\sqrt{3}$ 2. Нахождение стороны шестиугольника Из условия задачи нам известно, что $d=12$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину стороны $a$: $12=a\sqrt{3}$ $a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\text{см}$ 3. Связь радиуса вписанной окружности со стороной Радиус вписанной окружности ( $r$) в правильном шестиугольнике является апофемой (высотой равностороннего треугольника, из которых состоит шестиугольник). Он вычисляется по формуле: $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 4. Вычисление итогового радиуса Подставим найденное значение стороны $a=4\sqrt{3}$ в формулу радиуса: $r=\frac{\left(4\sqrt{3}\right)\cdot \sqrt{3}}{2}$ $r=\frac{4\cdot 3}{2}$ $r=\frac{12}{2}=6\text{см}$

Важное наблюдение: В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности всегда равен ровно половине меньшей диагонали, так как $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , а $d=a\sqrt{3}$ .

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 6 см. Хотите, чтобы я рассчитал площадь этого шестиугольника или радиус описанной около него окружности?