Определение производной. геометрический и механический смысл производной. найти угол наклона касательной к графику функции f(x)=1/2 x^2 в точке с абсциссой x_0=1.

Угол наклона касательной к графику функции $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ в точке с абсциссой $x_0=1$ составляет ${45}^{\circ }$. Шаг 1: Теоретические определения Определение производной Производной функции $y=f\left(x\right)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x0$: $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ Геометрический смысл Значение производной функции в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, относительно положительного направления оси $Ox$: $k=\tan \alpha =f^{\prime }\left(x_0\right)$Механический смысл Если функция $s\left(t\right)$ описывает закон перемещения материальной точки, то ее производная в момент времени $t$ является мгновенной скоростью: $v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)$Шаг 2: Вычисление производной и угла наклона Для функции $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ и точки $x_0=1$ выполним следующие действия:

1. Найдем производную функции в общем виде, используя правило $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$:
   $f^{\prime }\left(x\right)=(\frac{1}{2}{x}^2{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$ Вычислим значение производной в заданной точке $x_0=1$:
   $f^{\prime }\left(1\right)=1$ Используя геометрический смысл, приравняем полученное значение к тангенсу угла наклона:
   $\tan \alpha =1$ Найдем угол $\alpha$:
   $\alpha =\arctan \left(1\right)={45}^{\circ }$

Ответ: Угол наклона касательной равен ${45}^{\circ }$ (или $\frac{\pi }{4}$ радиан). Хотите рассмотреть построение уравнения касательной для данной функции или решить задачу на физический смысл производной?