2^sin^2x+2^cos^2x=3 решение уравнение

Для решения уравнения $2^{{\sin }^{2}x}+2^{{\cos }^{2}x}=3$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1⟹{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$Шаг 1: Преобразование уравнения Подставим выражение для ${\cos }^{2}x$ в исходное уравнение: $2^{{\sin }^{2}x}+2^{1-{\sin }^{2}x}=3$Используя свойства степеней ( $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ ), перепишем второе слагаемое: $2^{{\sin }^{2}x}+\frac{2^1}{2^{{\sin }^{2}x}}=3$ Шаг 2: Введение новой переменной Пусть $t=2^{{\sin }^{2}x}$. Заметим, что так как $0\le {\sin }^{2}x\le 1$, то область значений переменной $t$ ограничена: $2^0\le t\le 2^1$, то есть $t\in [1,2]$. Уравнение принимает вид: $t+\frac{2}{t}=3$ Шаг 3: Решение квадратного уравнения Умножим обе части уравнения на $t$ (при условии $t\ne 0$): $t^2-3t+2=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

1. $t_1=1$ $t_2=2$

Оба корня входят в допустимый промежуток $[1,2]$. Шаг 4: Обратная подстановка Случай 1: $t=1$ $2^{{\sin }^{2}x}=1$ $2^{{\sin }^{2}x}=2^0$ ${\sin }^{2}x=0⟹\sin x=0$ $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $t=2$ $2^{{\sin }^{2}x}=2$ $2^{{\sin }^{2}x}=2^1$ ${\sin }^{2}x=1$Это выполняется, когда ${\cos }^{2}x=0$, то есть $\cos x=0$: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Шаг 5: Объединение решений Полученные серии решений можно объединить в одну общую формулу. Точки $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}\dots$ повторяются с шагом в ${90}^{\circ }$ или $\frac{\pi }{2}$ радиан. Ответ: $x=\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я разобрал решение аналогичного уравнения с другими основаниями или тригонометрическими функциями?