На ребре cc1 куба abcda1b1c1d1 отмечена точка e так, что ce:ec1=1:3. найдите угол между прямыми be и ac1.

Question

На ребре cc1 куба abcda1b1c1d1 отмечена точка e так, что ce:ec1=1:3. найдите угол между прямыми be и ac1.

Зелье187 30.01.2026 10:52

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Угол между прямыми $B E cap B cap E$ и $A C_{1} cap A cap C sub 1$ составляет $\arccos \frac{5 \sqrt{51}}{51} arc cosine the fraction with numerator 5 the square root of 51 end-root and denominator 51 end-fraction$ . ️ Шаг 1: Введение системы координат Примем ребро куба за $4 a 4 a$ для удобства расчетов (так как точка $E cap E$ делит ребро $C C_{1} cap C cap C sub 1$ в отношении $1 ∶ 3 1 colon 3$ ). Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $B (0, 0, 0) cap B open paren 0 comma 0 comma 0 close paren$ :

Ось $O x cap O x$ направим вдоль $B A cap B cap A$ , тогда $A (4 a, 0, 0) cap A open paren 4 a comma 0 comma 0 close paren$ . Ось $O y cap O y$ направим вдоль $B C cap B cap C$ , тогда $C (0, 4 a, 0) cap C open paren 0 comma 4 a comma 0 close paren$ . Ось $O z cap O z$ направим вдоль $B B_{1} cap B cap B sub 1$ , тогда $B_{1} (0, 0, 4 a) cap B sub 1 open paren 0 comma 0 comma 4 a close paren$ .

Координаты остальных необходимых точек:

$C_{1} (0, 4 a, 4 a) cap C sub 1 open paren 0 comma 4 a comma 4 a close paren$ $A (4 a, 0, 0) cap A open paren 4 a comma 0 comma 0 close paren$

️ Шаг 2: Определение координат точки $E cap E$ Точка $E cap E$ лежит на ребре $C C_{1} cap C cap C sub 1$ и делит его в отношении $C E ∶ E C_{1} = 1 ∶ 3 cap C cap E colon cap E cap C sub 1 equals 1 colon 3$ . Длина $C C_{1} = 4 a cap C cap C sub 1 equals 4 a$ . Следовательно:

$C E = \frac{1}{1 + 3} \cdot 4 a = a cap C cap E equals the fraction with numerator 1 and denominator 1 plus 3 end-fraction center dot 4 a equals a$ Аппликата ( $z z$ ) точки $E cap E$ равна $a a$ , а остальные координаты совпадают с координатами точки $C cap C$ . $E (0, 4 a, a) cap E open paren 0 comma 4 a comma a close paren$

️ Шаг 3: Нахождение направляющих векторов Найдем координаты векторов $\vec{B E} modified cap B cap E with right arrow above$ и $\vec{A C_{1}} modified cap A cap C sub 1 with right arrow above$ :

$\vec{B E} = (0 - 0; 4 a - 0; a - 0) = (0, 4 a, a) modified cap B cap E with right arrow above equals open paren 0 minus 0 ; 4 a minus 0 ; a minus 0 close paren equals open paren 0 comma 4 a comma a close paren$ $\vec{A C_{1}} = (0 - 4 a; 4 a - 0; 4 a - 0) = (-4 a, 4 a, 4 a) modified cap A cap C sub 1 with right arrow above equals open paren 0 minus 4 a ; 4 a minus 0 ; 4 a minus 0 close paren equals open paren negative 4 a comma 4 a comma 4 a close paren$

️ Шаг 4: Вычисление угла через скалярное произведение Косинус угла $α alpha$ между прямыми находится по формуле: $\cos α = \frac{| \vec{B E} \cdot \vec{A C_{1}} |}{| \vec{B E} | \cdot | \vec{A C_{1}} |} cosine alpha equals the fraction with numerator the absolute value of modified cap B cap E with right arrow above center dot modified cap A cap C sub 1 with right arrow above end-absolute-value and denominator the absolute value of modified cap B cap E with right arrow above end-absolute-value center dot the absolute value of modified cap A cap C sub 1 with right arrow above end-absolute-value end-fraction$

Скалярное произведение:
$\vec{B E} \cdot \vec{A C_{1}} = 0 \cdot (-4 a) + 4 a \cdot 4 a + a \cdot 4 a = 16 a^{2} + 4 a^{2} = 20 a^{2} modified cap B cap E with right arrow above center dot modified cap A cap C sub 1 with right arrow above equals 0 center dot open paren negative 4 a close paren plus 4 a center dot 4 a plus a center dot 4 a equals 16 a squared plus 4 a squared equals 20 a squared$ Длины векторов:
$| \vec{B E} | = \sqrt{0^{2} + (4 a)^{2} + a^{2}} = \sqrt{17 a^{2}} = a \sqrt{17} the absolute value of modified cap B cap E with right arrow above end-absolute-value equals the square root of 0 squared plus open paren 4 a close paren squared plus a squared end-root equals the square root of 17 a squared end-root equals a the square root of 17 end-root$ $| \vec{A C_{1}} | = \sqrt{(-4 a)^{2} + (4 a)^{2} + (4 a)^{2}} = \sqrt{48 a^{2}} = 4 a \sqrt{3} the absolute value of modified cap A cap C sub 1 with right arrow above end-absolute-value equals the square root of open paren negative 4 a close paren squared plus open paren 4 a close paren squared plus open paren 4 a close paren squared end-root equals the square root of 48 a squared end-root equals 4 a the square root of 3 end-root$ Вычисление косинуса:
$\cos α = \frac{20 a^{2}}{a \sqrt{17} \cdot 4 a \sqrt{3}} = \frac{20}{4 \sqrt{51}} = \frac{5}{\sqrt{51}} = \frac{5 \sqrt{51}}{51} cosine alpha equals the fraction with numerator 20 a squared and denominator a the square root of 17 end-root center dot 4 a the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 20 and denominator 4 the square root of 51 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 5 and denominator the square root of 51 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 5 the square root of 51 end-root and denominator 51 end-fraction$

Ответ: $\arccos \frac{5 \sqrt{51}}{51} arc cosine the fraction with numerator 5 the square root of 51 end-root and denominator 51 end-fraction$ Нужно ли представить результат в виде приблизительного значения в градусах или выполнить расчет для другого расположения точки E?

На ребре cc​1 куба abcda​1b1c1d1 отмечена точка e так, что ce:ec​1=1:3. найдите угол между прямыми be и ac​1.

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов

На ребре cc1 куба abcda1b1c1d1 отмечена точка e так, что ce:ec1=1:3. найдите угол между прямыми be и ac1.