Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Формулировка: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Доказательство Пусть нам дана плоскость $\alpha$ и прямая $a$, не лежащая в ней. Предположим, что в плоскости $\alpha$ существует некоторая прямая $b$, такая что $a\parallel b$. Нам необходимо доказать, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ( $a\parallel \alpha$). 1. Определение параллельности По определению, прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки. 2. Построение плоскости через две параллельные прямые Согласно аксиомам стереометрии, через две параллельные прямые ( $a$ и $b$) можно провести плоскость, и притом только одну. Назовем эту плоскость $\beta$. 3. Анализ пересечения плоскостей Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$, так как прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ (по условию) и в плоскости $\beta$ (по построению). 4. Метод от противного Допустим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$. Это означало бы, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$.

• Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то точка $M$ должна принадлежать плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Все общие точки двух плоскостей лежат на линии их пересечения. Значит, точка $M$ должна лежать на прямой $b$.

5. Противоречие Мы получили, что прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $M$. Однако по условию $a\parallel b$, а параллельные прямые по определению не пересекаются. 6. Вывод Наше предположение о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, было ложным. Следовательно, прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$, что и означает $a\parallel \alpha$. Резюме условий Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо выполнение двух условий:

1. Прямая не должна лежать в этой плоскости.
2. Прямая должна быть параллельна любой прямой, находящейся внутри этой плоскости.

Я могу также разобрать для вас свойства, вытекающие из этого признака, или привести примеры решения задач на эту тему. Хотите рассмотреть следствия из этой теоремы?