Найди площадь поверхности s многогранника,вершины которого являются центрами октаэдра с ребром  2 корень из 3

Площадь поверхности $S$ искомого многогранника равна 16. Многогранник, вершинами которого являются центры граней правильного октаэдра, называется его дуальным многогранником. Для октаэдра таким телом является куб. 1. Определим связь между ребрами тел Пусть $a$ — ребро исходного октаэдра. Центры его 8 граней (равносторонних треугольников) образуют 8 вершин куба. Если поместить октаэдр в декартову систему координат с вершинами в точках $(\pm L,0,0)$, $(0,\pm L,0)$, $(0,0,\pm L)$, то длина его ребра вычисляется как: $a=\sqrt{L^2+L^2}=L\sqrt{2}⟹L=\frac{a}{\sqrt{2}}$ Координаты центра одной из граней (например, образованной вершинами $(L,0,0)$, $(0,L,0)$ и $(0,0,L)$) находятся как среднее арифметическое координат ее вершин: $C_1=(\frac{L}{3},\frac{L}{3},\frac{L}{3})$ Все 8 вершин куба будут иметь координаты $(\pm \frac{L}{3},\pm \frac{L}{3},\pm \frac{L}{3})$ . Следовательно, длина ребра куба $b$ равна расстоянию между соседними вершинами (например, между теми, где меняется только один знак): $b=\frac{2L}{3}$ Подставив $L=\frac{a}{\sqrt{2}}$ , получим формулу ребра куба через ребро октаэдра: $b=\frac{2a}{3\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ 2. Вычислим длину ребра куба По условию задачи ребро октаэдра $a=2\sqrt{3}$ . Подставим это значение в полученную формулу: $b=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ 3. Найдём площадь поверхности Площадь поверхности куба $S$ вычисляется по формуле $S=6b^2$. Выполним расчет:

1. Возведем ребро $b$ в квадрат:
   $b^2={\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)}^2=\frac{4\cdot 6}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$ Умножим на количество граней:
   $S=6\cdot \frac{8}{3}=2\cdot 8=16$

Ответ Площадь поверхности многогранника (куба), вершины которого являются центрами граней данного октаэдра, составляет 16 квадратных единиц. Хотите также рассчитать объем этого куба или рассмотреть случай, когда вершины куба являются центрами граней другого платонова тела?