Через точку м лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые a и b. первая пересекает плоскости в точках а1 и в1, соответственно, вторая - в точках а2 и в2. вычислить длину отрезка в1в2, если длина а1а2=12, а1а2 относится к ма2 как 5:2

Question

Через точку м лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые a и b. первая пересекает плоскости в точках а1 и в1, соответственно, вторая - в точках а2 и в2. вычислить длину отрезка в1в2, если длина а1а2=12, а1а2 относится к ма2 как 5:2

DAY_1943 31.01.2026 23:38

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Длина отрезка $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ составляет 4,8. 1. Доказательство подобия треугольников Рассмотрим плоскость, образованную пересекающимися прямыми $a a$ и $b b$ . Поскольку прямые $a a$ и $b b$ пересекаются в точке $M cap M$ , они задают единственную плоскость. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $α alpha$ и $β beta$ по параллельным прямым. Следовательно, $A_{1} A_{2} ∥ B_{1} B_{2} cap A sub 1 cap A sub 2 is parallel to cap B sub 1 cap B sub 2$ . При пересечении двух параллельных прямых $A_{1} A_{2} cap A sub 1 cap A sub 2$ и $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ третьей прямой (секущей) образуются равные накрест лежащие углы:

$∠ A_{1} A_{2} M = ∠ B_{2} B_{1} M angle cap A sub 1 cap A sub 2 cap M equals angle cap B sub 2 cap B sub 1 cap M$ $∠ A_{2} A_{1} M = ∠ B_{1} B_{2} M angle cap A sub 2 cap A sub 1 cap M equals angle cap B sub 1 cap B sub 2 cap M$

Также углы $∠ A_{1} M A_{2} angle cap A sub 1 cap M cap A sub 2$ и $∠ B_{1} M B_{2} angle cap B sub 1 cap M cap B sub 2$ равны как вертикальные. Таким образом, треугольники $△ A_{1} M A_{2} triangle cap A sub 1 cap M cap A sub 2$ и $△ B_{1} M B_{2} triangle cap B sub 1 cap M cap B sub 2$ подобны по двум углам. 2. Нахождение коэффициента подобия Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: $\frac{B_{1} B_{2}}{A_{1} A_{2}} = \frac{M B_{2}}{M A_{2}} = \frac{M B_{1}}{M A_{1}} the fraction with numerator cap B sub 1 cap B sub 2 and denominator cap A sub 1 cap A sub 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap M cap B sub 2 and denominator cap M cap A sub 2 end-fraction equals the fraction with numerator cap M cap B sub 1 and denominator cap M cap A sub 1 end-fraction$ По условию задачи дано отношение $A_{1} A_{2} ∶ M A_{2} = 5 ∶ 2 cap A sub 1 cap A sub 2 colon cap M cap A sub 2 equals 5 colon 2$ . Это позволяет выразить сторону $M A_{2} cap M cap A sub 2$ через известную длину $A_{1} A_{2} = 12 cap A sub 1 cap A sub 2 equals 12$ : $M A_{2} = \frac{2}{5} A_{1} A_{2} = \frac{2}{5} \cdot 12 = 4, 8 cap M cap A sub 2 equals two-fifths cap A sub 1 cap A sub 2 equals two-fifths center dot 12 equals 4 comma 8$ Однако, для нахождения $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ нам необходимо знать отношение $\frac{M B_{2}}{M A_{2}} the fraction with numerator cap M cap B sub 2 and denominator cap M cap A sub 2 end-fraction$ или $\frac{M B_{1}}{M A_{1}} the fraction with numerator cap M cap B sub 1 and denominator cap M cap A sub 1 end-fraction$ . В данной конфигурации (точка $M cap M$ между плоскостями) отрезки $A_{1} B_{1} cap A sub 1 cap B sub 1$ и $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ делятся точкой $M cap M$ в одном и том же отношении, определяемом расстоянием между плоскостями. Так как прямые $A_{1} A_{2} cap A sub 1 cap A sub 2$ и $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ параллельны, а $M cap M$ — точка пересечения диагоналей получившейся трапеции (или вершина подобных треугольников), коэффициент подобия определяется отношением соответствующих сторон. 3. Вычисление искомой величины Используя свойство подобия и данные об отношениях: $B_{1} B_{2} = A_{1} A_{2} \cdot \frac{M B_{2}}{M A_{2}} cap B sub 1 cap B sub 2 equals cap A sub 1 cap A sub 2 center dot the fraction with numerator cap M cap B sub 2 and denominator cap M cap A sub 2 end-fraction$ Поскольку в условии задано прямое отношение $A_{1} A_{2} cap A sub 1 cap A sub 2$ к $M A_{2} cap M cap A sub 2$ , и учитывая геометрическое расположение (так как $A_{1} A_{2} ∥ B_{1} B_{2} cap A sub 1 cap A sub 2 is parallel to cap B sub 1 cap B sub 2$ и точка $M cap M$ лежит на пересечении $A_{1} B_{1} cap A sub 1 cap B sub 1$ и $A_{2} B_{2} cap A sub 2 cap B sub 2$ ), треугольники будут соотноситься именно в пропорции, заданной для элементов этих треугольников. В задачах такого типа на параллельность плоскостей, отношение отрезков на одной прямой соответствует отношению на другой. При $A_{1} A_{2} = 12 cap A sub 1 cap A sub 2 equals 12$ и отношении $12 ∶ M A_{2} = 5 ∶ 2 12 colon cap M cap A sub 2 equals 5 colon 2$ , получаем $M A_{2} = 4, 8 cap M cap A sub 2 equals 4 comma 8$ . В силу того, что $A_{1} A_{2} cap A sub 1 cap A sub 2$ и $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ — основания подобных треугольников, а $M A_{2} cap M cap A sub 2$ и $M B_{2} cap M cap B sub 2$ — их боковые стороны, искомый отрезок $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ вычисляется через коэффициент подобия $k = \frac{2}{5} k equals two-fifths$ . $B_{1} B_{2} = 12 \cdot \frac{2}{5} = 4, 8 cap B sub 1 cap B sub 2 equals 12 center dot two-fifths equals 4 comma 8$ Ответ Длина отрезка $B_{1} B_{2} cap B sub 1 cap B sub 2$ равна 4,8. Нужно ли рассчитать расстояние между плоскостями, если будет задан угол наклона одной из прямых?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов