Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания,если угол между высотой конуса о образующей равен 45 градусов

Отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания при угле в ${45}^{\circ }$ между высотой и образующей равно $\sqrt{2}$ . 1. Связь элементов конуса через тригонометрию Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. По условию, угол между высотой $h$ и образующей $l$ равен ${45}^{\circ }$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным, так как второй острый угол (между радиусом и образующей) также равен ${90}^{\circ }-{45}^{\circ }={45}^{\circ }$. Из этого следует, что радиус основания равен высоте: $r=h$Используя определение синуса или теорему Пифагора, выразим образующую $l$ через радиус $r$: $l=\frac{r}{\sin \left({45}^{\circ }\right)}=\frac{r}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=r\sqrt{2}$ 2. Формулы площадей поверхностей Запишем стандартные формулы для вычисления площадей:

• Площадь основания конуса (круг):
  $S_{осн}=\pi r^2$ Площадь боковой поверхности конуса:
  $S_{бок}=\pi rl$

3. Нахождение искомого отношения Подставим выражение для образующей $l=r\sqrt{2}$ в формулу боковой поверхности и разделим её на площадь основания: $\frac{S_{бок}}{S_{осн}}=\frac{\pi rl}{\pi r^2}=\frac{l}{r}$ Подставляя $l$: $\frac{S_{бок}}{S_{осн}}=\frac{r\sqrt{2}}{r}=\sqrt{2}$ Ответ Отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания составляет $\sqrt{2}$ . Укажите, требуется ли вам вывод аналогичного отношения для другого угла или расчет полной площади поверхности конуса.