Найдите рациональные корни уравнения 2x^4+7x^3-3x^2-5x-1

Для нахождения рациональных корней уравнения $2x^4+7x^3-3x^2-5x-1=0$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. 1. Определение возможных корней Согласно теореме, если рациональное число $\frac{p}{q}$ (где дробь несократима) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то:

• Числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0=-1$. Знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_n=2$.

Возможные значения $p$: $\pm 1$. Возможные значения $q$: $1,2$. Следовательно, список кандидатов в рациональные корни: $\pm 1,\pm \frac{1}{2}$ 2. Проверка кандидатов (схема Горнера или прямая подстановка) Обозначим $P\left(x\right)=2x^4+7x^3-3x^2-5x-1$.

• Проверка $x=1$:
  $P\left(1\right)=2(1{)}^4+7(1{)}^3-3(1{)}^2-5(1)-1=2+7-3-5-1=0$.
  Корень найден: $x_1=1$. Проверка $x=-1$:
  $P\left(-1\right)=2(-1{)}^4+7(-1{)}^3-3(-1{)}^2-5(-1)-1=2-7-3+5-1=-4\ne 0$. Проверка $x=-\frac{1}{2}$ :
  $P(-\frac{1}{2})=2\left(\frac{1}{16}\right)+7(-\frac{1}{8})-3\left(\frac{1}{4}\right)-5(-\frac{1}{2})-1=\frac{1}{8}-\frac{7}{8}-\frac{6}{8}+\frac{20}{8}-\frac{8}{8}=0$ .
  Корень найден: $x_2=-\frac{1}{2}$ .

3. Разложение многочлена Так как найдены корни $1$ и $-\frac{1}{2}$ , многочлен делится на $(x-1)$ и $(2x+1)$, то есть на их произведение: $(x-1)(2x+1)=2x^2-x-1$. Разделим исходный многочлен $2x^4+7x^3-3x^2-5x-1$ на $(2x^2-x-1)$ «уголком» или последовательно по схеме Горнера:

1. Разделим на $(x-1)$: получаем $2x^3+9x^2+6x+1$. Разделим полученное на $(x+\frac{1}{2})$ или $2x^3+9x^2+6x+1$ на $(2x+1)$: получаем $x^2+4x+1$.

4. Поиск оставшихся корней Решим квадратное уравнение $x^2+4x+1=0$: $D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$ $x=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$ Числа $-2+\sqrt{3}$ и $-2-\sqrt{3}$ являются иррациональными. Ответ: Рациональными корнями уравнения являются: $x_1=1$ $x_2=-1/2$ Хотите, чтобы я проверил другое уравнение или разложил этот многочлен на множители полностью?