Найти аргумент и модуль комплексного числа -2+2і

Для нахождения модуля и аргумента комплексного числа $z=-2+2i$, определим его вещественную и мнимую части:

• Вещественная часть: $x=-2$ Мнимая часть: $y=2$

1. Нахождение модуля $\left|z\right|$ Модуль комплексного числа вычисляется по формуле: $\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}$ Подставим значения: $\left|z\right|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ Результат: Модуль числа равен $2\sqrt{2}$ (приблизительно $2.828$). 2. Нахождение аргумента $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(z\right)$ Аргумент $\varphi$ — это угол, который образует радиус-вектор числа с положительным направлением оси $Ox$. Чтобы определить его правильно, нужно учесть четверть, в которой находится число:

• $x=-2$ (отрицательное) $y=2$ (положительное)

Число находится во II четверти на комплексной плоскости. Для II четверти формула аргумента выглядит так: $\varphi =\pi -\arctan \left(\left|\frac{y}{x}\right|\right)$ Вычисляем:

1. Находим отношение: $\left|\frac{y}{x}\right|=\left|\frac{2}{-2}\right|=1$ Вычисляем арктангенс: $\arctan \left(1\right)=\frac{\pi }{4}$ (или ${45}^{\circ }$) Находим итоговый угол: $\varphi =\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

Результат: Аргумент равен $\frac{3\pi }{4}$ (или ${135}^{\circ }$). Итоговые характеристики числа $z=-2+2i$:

• Модуль: $r=2\sqrt{2}$ Аргумент: $\varphi =\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ (главное значение $\frac{3\pi }{4}$ ) Тригонометрическая форма: $z=2\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$ Показательная форма: $z=2\sqrt{2}{e}^{i\frac{3\pi }{4}}$

Я могу помочь вам перевести это число в другие формы записи или выполнить с ним арифметические операции. Хотите, чтобы я возвел это число в какую-либо степень?