Найти интервалы возрастания и убывания функции: 2х^3+3х^2-2

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-1]$ и $[0,+\infty )$, а убывает на промежутке $[-1,0]$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на монотонность необходимо найти её производную. Используем правила дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=(2x^3+3x^2-2{)}^{\prime }=6x^2+6x$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $6x^2+6x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $6x(x+1)=0$Отсюда получаем две критические точки: $x_1=0,x_2=-1$Шаг 3: Исследование знаков производной на интервалах Разбиваем числовую прямую на интервалы критическими точками: $(-\infty ,-1)$, $(-1,0)$ и $(0,+\infty )$. Определим знак производной $f^{\prime }\left(x\right)=6x(x+1)$ на каждом из них:

• На интервале $(-\infty ,-1)$: возьмем $x=-2$, тогда $f^{\prime }\left(-2\right)=6\left(-2\right)\left(-1\right)=12>0$. Функция возрастает. На интервале $(-1,0)$: возьмем $x=-0,5$, тогда $f^{\prime }(-0,5)=6(-0,5)(0,5)=-1,5<0$. Функция убывает. На интервале $(0,+\infty )$: возьмем $x=1$, тогда $f^{\prime }\left(1\right)=6\left(1\right)\left(2\right)=12>0$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-1]\cup [0,+\infty )$ и убывает при $x\in [-1,0]$. Нужно ли вам найти точки экстремума (максимумы и минимумы) для этой функции?