Построить график функции и провести исследование функции: а) y= (x+1)/(x-1)^(2) б) y = x+ln(x^(2)-4)

Ниже представлено подробное исследование и описание графиков для двух заданных функций. а) Исследование функции $y=\frac{x+1}{(x-1{)}^2}$ 1. Область определения Функция определена везде, кроме точки, где знаменатель обращается в ноль: $(x-1{)}^2\ne 0x\ne 1$ $D\left(y\right):x\in (-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ 2. Точки пересечения с осями

• С осью $OY$ ( $x=0$): $y=\frac{0+1}{(0-1{)}^2}=1$ . Точка (0; 1). С осью $OX$ ( $y=0$): $x+1=0x=-1$. Точка (-1; 0).

3. Асимптоты

• Вертикальная: $\underset{x1}{\lim }\frac{x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{2}{\mathrm{+0}}=+\infty$ . Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота. Горизонтальная: $\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{(x-1{)}^2}=0$ . Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота.

4. Производная и экстремумы Вычислим $y^{\prime }$: $y^{\prime }=\frac{1\cdot (x-1{)}^2-(x+1)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{x-1-2x-2}{(x-1{)}^3}=\frac{-x-3}{(x-1{)}^3}$

• $y^{\prime }=0$ при $x=-3$. Критическая точка: $x=-3$. Интервалы монотонности:
  • $(-\infty ;-3)$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает) $(-3;1)$: $y^{\prime }>0$ (функция возрастает) $(1;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ (функция убывает)
  Экстремум: Точка минимума $x=-3$. $y\left(-3\right)=\frac{-3+1}{(-3-1{)}^2}=\frac{-2}{16}=-0.125$ .

5. Вторая производная и точки перегиба $y^{\prime \prime }=\frac{-1(x-1{)}^3-(-x-3)\cdot 3(x-1{)}^2}{(x-1{)}^6}=\frac{-x+1+3x+9}{(x-1{)}^4}=\frac{2x+10}{(x-1{)}^4}$

• $y^{\prime \prime }=0$ при $x=-5$. Интервалы выпуклости:
  • $(-\infty ;-5)$: $y^{\prime \prime }<0$ (выпукла вверх) $(-5;1)\cup (1;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ (выпукла вниз)
  Точка перегиба: $x=-5,y\left(-5\right)=-4/36=-1/9\approx -0.11$.

б) Исследование функции $y=x+\ln (x^2-4)$ 1. Область определения Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2-4>0(x-2)(x+2)>0$ $D\left(y\right):x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ 2. Четность и периодичность Функция не является ни четной, ни нечетной, не является периодической. 3. Асимптоты

• Вертикальные:
  • $\underset{x-2-0}{\lim }(x+\ln (x^2-4\left)\right)=-2+\ln \left(\mathrm{+0}\right)=-\infty$ $\underset{x2+0}{\lim }(x+\ln (x^2-4\left)\right)=2+\ln \left(\mathrm{+0}\right)=-\infty$
    Прямые $x=-2$ и $x=2$ — вертикальные асимптоты.
• Наклонные ( $y=kx+b$):
  $k=\underset{x\infty }{\lim }\frac{x+\ln (x^2-4)}{x}=1+0=1$ .
  $b=\underset{x\infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\infty }{\lim }\ln (x^2-4)=+\infty$.
  Наклонных асимптот нет.

4. Производная и экстремумы $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2-4}\cdot 2x=\frac{x^2+2x-4}{x^2-4}$ Найдем корни $x^2+2x-4=0$: $D=4-4\left(1\right)\left(-4\right)=20x=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{2}=-1\pm \sqrt{5}$

• $x_1=-1-\sqrt{5}\approx -3.24$ (входит в $D\left(y\right)$) $x_2=-1+\sqrt{5}\approx 1.24$ (не входит в $D\left(y\right)$)

Интервалы монотонности (с учетом $D\left(y\right)$):

• $(-\infty ;-1-\sqrt{5})$ : $y^{\prime }>0$ (возрастает) $(-1-\sqrt{5};-2)$ : $y^{\prime }<0$ (убывает) $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (возрастает)

Экстремум: Максимум в точке $x=-1-\sqrt{5}$ . 5. Вторая производная $y^{\prime \prime }=\frac{(2x+2)(x^2-4)-(x^2+2x-4)\left(2x\right)}{(x^2-4{)}^2}=\frac{2x^3-8x+2x^2-8-2x^3-4x^2+8x}{(x^2-4{)}^2}=\frac{-2x^2-8}{(x^2-4{)}^2}$ Так как $-2x^2-8<0$ для всех $x$ из $D\left(y\right)$, функция всегда выпукла вверх на всей области определения. Точек перегиба нет. Я могу составить таблицу значений для этих функций, чтобы вы могли точнее перенести их на бумагу. Желаете ли вы, чтобы я это сделал?