Найти корень уравнения 25^x+4*5^x-5=0

Для решения уравнения ${25}^x+4\cdot 5^x-5=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Заметим, что ${25}^x$ можно представить как $(5^2{)}^x$, что согласно свойствам степеней равно $(5^x{)}^2$. Уравнение принимает вид: $(5^x{)}^2+4\cdot 5^x-5=0$2. Замена переменной Пусть $5^x=t$. Важно помнить, что показательная функция всегда принимает положительные значения, поэтому вводим ограничение: $t>0$. Теперь уравнение становится квадратным относительно $t$: $t^2+4t-5=0$3. Решение квадратного уравнения Решим уравнение через дискриминант ( $D$):

• $a=1,b=4,c=-5$ $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$ $\sqrt{D}=\sqrt{36}=6$

Находим корни $t$:

1. $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

4. Обратная замена Проверим корни на соответствие условию $t>0$:

• $t_2=-5$ — не подходит, так как $5^x$ не может быть отрицательным числом. $t_1=1$ — подходит.

Вернемся к переменной $x$: $5^x=1$Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ( $5^0=1$), получаем: $x=0$Ответ: $x=0$ Я могу помочь вам решить аналогичные показательные уравнения или системы уравнений. Хотите разобрать более сложный пример с логарифмированием?