Найти объем тела ограниченного поверхностями x+y=4 x=3 y=1 x=0 y=0 z=0 z=2.

Объем тела, ограниченного заданными плоскостями, составляет 6. ️ Шаг 1: Определение области интегрирования Для нахождения объема $V$ необходимо вычислить тройной интеграл $V={\iiint }_{V}dxdydz$. Сначала определим проекцию тела на плоскость $Oxy$. Область $D$ ограничена прямыми:

1. $x=0$ и $x=3$ $y=0$ и $y=1$ $x+y=4$

Проверим, как прямая $x+y=4$ соотносится с прямоугольником, образованным первыми четырьмя прямыми. В вершине прямоугольника $(3,1)$ сумма координат $3+1=4$. Поскольку для всех точек внутри прямоугольника $0\le x\le 3$ и $0\le y\le 1$ выполняется условие $x+y\le 4$, плоскость $x+y=4$ проходит через ребро $(3,1,z)$ и не отсекает часть объема от данного параллелепипеда. ️ Шаг 2: Расстановка пределов и вычисление Тело ограничено по высоте плоскостями $z=0$ и $z=2$, следовательно, высота $h=2$. Объем вычисляется через повторный интеграл: $V={\int }_0^{3}dx{\int }_0^{1}dy{\int }_0^{2}dz$Выполним последовательное интегрирование:

1. Интеграл по $z$: ${\int }_0^{2}dz=[z{]}_0^2=2$. Интеграл по $y$: ${\int }_0^{1}2dy=[2y{]}_0^1=2$. Интеграл по $x$: ${\int }_0^{3}2dx=[2x{]}_0^3=6$.

Таким образом, объем равен произведению длин сторон основания на высоту: $V=3\cdot 1\cdot 2=6$. Ответ: Объем тела равен 6. Желаете проверить, изменится ли результат, если изменить одно из условий границ, например, если бы плоскость $x+y=4$ пересекала область посередине?