Найти производную у=х/корень из х^2+1

Для нахождения производной функции $y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ Шаг 1: Определение компонентов Пусть:

• $u=x$, тогда $u^{\prime }=1$ $v=\sqrt{x^2+1}=(x^2+1{)}^{1/2}$

Шаг 2: Производная знаменателя Для нахождения $v^{\prime }$ используем правило дифференцирования сложной функции: $v^{\prime }=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-1/2}\cdot (x^2+1{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ Шаг 3: Подстановка в формулу частного $y^{\prime }=\frac{1\cdot \sqrt{x^2+1}-x\cdot \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)}{(\sqrt{x^2+1}{)}^2}$ Шаг 4: Упрощение выражения

1. Числитель: Приведем к общему знаменателю $\sqrt{x^2+1}$ :
   $\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{(\sqrt{x^2+1}{)}^2-x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ Знаменатель: $(\sqrt{x^2+1}{)}^2=x^2+1$ Итоговая дробь:
   $y^{\prime }=\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{(x^2+1)\cdot \sqrt{x^2+1}}$

Ответ: $y^{\prime }=\frac{1}{(x^2+1{)}^{3/2}}\text{или}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{(x^2+1{)}^3}}$ Хотите, чтобы я нашел вторую производную этой функции или исследовал её на экстремумы?