Найти производную второго порядка от функции y=cos^2 x

Для нахождения производной второго порядка функции $y={\cos }^{2}x$ необходимо последовательно вычислить первую и вторую производные, используя правила дифференцирования сложной функции и тригонометрические формулы. 1. Нахождение первой производной $y^{\prime }$ Функция представляет собой сложную функцию вида $u^2$, где $u=\cos x$. Применим правило дифференцирования степенной функции $(u^n{)}^{\prime }=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$: $y^{\prime }=({\cos }^{2}x{)}^{\prime }=2\cdot \cos x\cdot (\cos x{)}^{\prime }$Так как производная $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, получаем: $y^{\prime }=2\cdot \cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x$Для упрощения последующего дифференцирования воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла $\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x$: $y^{\prime }=-\sin \left(2x\right)$2. Нахождение второй производной $y^{\prime \prime }$ Вторая производная — это производная от первой производной. Дифференцируем полученное выражение $-\sin \left(2x\right)$, также используя правило для сложной функции $(\sin u{)}^{\prime }=\cos u\cdot u^{\prime }$: $y^{\prime \prime }=(-\sin (2x){)}^{\prime }=-\cos (2x)\cdot (2x{)}^{\prime }$Так как производная $(2x{)}^{\prime }=2$, получаем: $y^{\prime \prime }=-\cos \left(2x\right)\cdot 2$ $y^{\prime \prime }=-2\cos \left(2x\right)$Итоговый ответ: $y^{\prime \prime }=-2\cos \left(2x\right)$Если требуется представить ответ через исходные функции $\sin x$ и $\cos x$, можно разложить косинус двойного угла: $y^{\prime \prime }=-2({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=2{\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x$Я могу также вычислить значение этой производной в конкретной точке или найти производные более высоких порядков для этой функции. Хотите продолжить?