Х в кубе -1=х в квадрате +х +1/х-1

Для решения уравнения $x^3-1=x^2+x+\frac{1}{x-1}$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) и упростить выражение. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Так как в уравнении присутствует дробь с делителем $(x-1)$, знаменатель не может быть равен нулю: $x-1\ne 0⟹x\ne 1$2. Упрощение уравнения Заметим, что левую часть уравнения $x^3-1$ можно разложить по формуле разности кубов: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$Теперь подставим это в исходное уравнение: $(x-1)(x^2+x+1)=x^2+x+\frac{1}{x-1}$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $(x-1)(x^2+x+1)-(x^2+x)-\frac{1}{x-1}=0$ 3. Приведение к общему знаменателю Чтобы избавиться от дроби, умножим все части уравнения на $(x-1)$, учитывая, что $x\ne 1$: $(x-1{)}^2(x^2+x+1)-x(x+1\left)\right(x-1)-1=0$Раскроем скобки поэтапно:

1. $(x-1{)}^2(x^2+x+1)=(x^2-2x+1\left)\right(x^2+x+1)$
   • $=x^2(x^2+x+1)-2x(x^2+x+1)+1(x^2+x+1)$ $=x^4+x^3+x^2-2x^3-2x^2-2x+x^2+x+1$ $=x^4-x^3-x+1$
   $x(x+1)(x-1)=x(x^2-1)=x^3-x$

Теперь подставим полученные выражения обратно в уравнение: $(x^4-x^3-x+1)-(x^3-x)-1=0$Упростим выражение: $x^4-x^3-x+1-x^3+x-1=0$ $x^4-2x^3=0$4. Решение полученного уравнения Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки: $x^3(x-2)=0$Отсюда получаем два возможных корня:

1. $x^3=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x-2=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}$

5. Проверка по ОДЗ Оба полученных значения ( $0$ и $2$) не равны $1$, следовательно, они являются корнями уравнения. Ответ: $0;2$. Я могу составить для вас аналогичное уравнение для тренировки или разобрать решение через замену переменной, если это необходимо.