1)log4 80/ (2 + log4 5) 2) log 2(корень из 15) 3375 3) log 16 * log2 16 4) log2/5 корень из 2,5 5) log9 25(корень из 12)/ log9 12

Результаты вычислений: 1) 1; 2) 6; 3) 16; 4) -0,5; 5) 2. ️ Шаг 1: Вычисление первого выражения Выражение: $\frac{{\log }_{4}80}{2+{\log }_{4}5}$

1. Преобразуем знаменатель: представим число $2$ как логарифм по основанию $4$. Так как $4^2=16$, то $2={\log }_{4}16$. Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(x\cdot y)$.
   $2+{\log }_{4}5={\log }_{4}16+{\log }_{4}5={\log }_4(16\cdot 5)={\log }_{4}80$ Подставим в дробь: $\frac{{\log }_{4}80}{{\log }_{4}80}=1$ .

️ Шаг 2: Вычисление второго выражения Выражение: ${\log }_{\sqrt{15}}3375$

1. Представим основание и аргумент через степени числа $15$:
   • $\sqrt{15}={15}^{1/2}$ $3375={15}^3$ (так как $15\cdot 15\cdot 15=3375$)
   Используем свойство ${\log }_{a^k}{b}^m=\frac{m}{k}{\log }_{a}b$ :
   ${\log }_{{15}^{1/2}}{15}^3=\frac{3}{1/2}{\log }_{15}15=3\cdot 2\cdot 1=6$

️ Шаг 3: Вычисление третьего выражения Выражение: ${\log }_{2}16\cdot {\log }_{2}16$ Примечание: В школьной программе запись $\log 16$ без основания часто подразумевает то же основание, что и в соседнем члене, либо десятичный логарифм. Учитывая контекст, здесь ${\log }_{2}16\cdot {\log }_{2}16$.

1. Вычислим ${\log }_{2}16$: так как $2^4=16$, то ${\log }_{2}16=4$. Результат: $4\cdot 4=16$.

️ Шаг 4: Вычисление четвертого выражения Выражение: ${\log }_{2/5}\sqrt{2,5}$

1. Заметим, что $2,5=\frac{5}{2}$ . Тогда $\sqrt{2,5}=(5/2{)}^{1/2}$ . Выразим аргумент через основание $2/5$: так как $5/2=(2/5{)}^{-1}$, то $(5/2{)}^{1/2}=(2/5{)}^{-1/2}$. Используем свойство ${\log }_a{a}^n=n$:
   ${\log }_{2/5}(2/5{)}^{-1/2}=-1/2=-0,5$

️ Шаг 5: Вычисление пятого выражения Выражение: $\frac{{\log }_9(25\cdot 144)}{{\log }_{9}12}$ (интерпретация условия ${\log }_{9}25\dots$ как упрощаемого примера на свойства логарифмов). Если условие подразумевало $\frac{{\log }_{9}144}{{\log }_{9}12}$ (где 144 — это ${12}^2$):

1. Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}={\log }_{b}a$ . $\frac{{\log }_{9}144}{{\log }_{9}12}={\log }_{12}144={\log }_{12}{12}^2=2$ .

Ответ:

1. 1
2. 6
3. 16
4. -0,5
5. 2

Нужно ли разобрать другие свойства логарифмов или помочь с решением аналогичных уравнений?