Найти точки экстремума: a) f(x)=1/2x^4-x^2 б) f(x)=9+8x^2-x^4

Для нахождения точек экстремума функции необходимо выполнить стандартный алгоритм: найти производную, приравнять её к нулю (найти критические точки) и определить, как меняется знак производной при переходе через эти точки. а) $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4-x^2$

1. Находим производную функции:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot 4x^3-2x=2x^3-2x$ Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек:
   $2x^3-2x=0$Выносим общий множитель за скобки:
   $2x(x^2-1)=0$ $2x(x-1)(x+1)=0$Получаем три критические точки: $x_1=-1$, $x_2=0$, $x_3=1$. Определяем характер точек (минимум или максимум):
   Проверим знак производной $f^{\prime }\left(x\right)=2x(x^2-1)$ на интервалах:
   • $(-\infty ;-1)$: $f^{\prime }\left(-2\right)=2\left(-2\right)\left(\right(-2{)}^2-1)=-4(3)=-12<0$ (убывание) $(-1;0)$: $f^{\prime }\left(-0.5\right)=2\left(-0.5\right)(0.25-1)=-1\left(-0.75\right)=0.75>0$ (возрастание) $(0;1)$: $f^{\prime }\left(0.5\right)=2\left(0.5\right)(0.25-1)=1\left(-0.75\right)=-0.75<0$ (убывание) $(1;+\infty )$: $f^{\prime }\left(2\right)=2\left(2\right)(4-1)=12>0$ (возрастание)

Результат:

• Точки минимума: $x=-1$ и $x=1$ (производная меняет знак с $-$ на $+$). Точка максимума: $x=0$ (производная меняет знак с $+$ на $-$).

б) $f\left(x\right)=9+8x^2-x^4$

1. Находим производную функции:
   $f^{\prime }\left(x\right)=16x-4x^3$ Приравниваем производную к нулю:
   $16x-4x^3=0$Выносим $-4x$ за скобки:
   $-4x(x^2-4)=0$ $-4x(x-2)(x+2)=0$Получаем три критические точки: $x_1=-2$, $x_2=0$, $x_3=2$. Определяем характер точек:
   Проверим знак производной $f^{\prime }\left(x\right)=-4x(x^2-4)$ на интервалах:
   • $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }\left(-3\right)=-4\left(-3\right)\left(\right(-3{)}^2-4)=12(5)=60>0$ (возрастание) $(-2;0)$: $f^{\prime }\left(-1\right)=-4\left(-1\right)\left(\right(-1{)}^2-4)=4(-3)=-12<0$ (убывание) $(0;2)$: $f^{\prime }\left(1\right)=-4\left(1\right)(1^2-4)=-4\left(-3\right)=12>0$ (возрастание) $(2;+\infty )$: $f^{\prime }\left(3\right)=-4\left(3\right)(3^2-4)=-12\left(5\right)=-60<0$ (убывание)

Результат:

• Точки максимума: $x=-2$ и $x=2$ (производная меняет знак с $+$ на $-$). Точка минимума: $x=0$ (производная меняет знак с $-$ на $+$).

Вы хотите, чтобы я также вычислил значения функций в этих точках (экстремумы функции)?