Тема функции и её свойства мой гуманитарный мозг не вдупляет) y = 2x^2+3/x^2-x-2

Для того чтобы разобраться с функцией $y=\frac{2x^2+3}{x^2-x-2}$ , нужно разложить её «по полочкам». Исследование любой функции обычно начинается с её ограничений и особенностей поведения. 1. Область определения (Где функция существует) Функция представляет собой дробь. Главное правило: знаменатель не может быть равен нулю. Решим уравнение $x^2-x-2=0$. Через дискриминант или теорему Виета находим корни:

• $x_1=2$ $x_2=-1$

Результат: Функция существует при всех значениях $x$, кроме $2$ и $-1$. Запись: $D\left(f\right)=(-\infty ;-1)\cup (-1;2)\cup (2;+\infty )$. 2. Вертикальные асимптоты Это «запретные» линии, к которым график приближается вплотную, но никогда их не пересекает. Они проходят как раз через точки, где знаменатель равен нулю.

• Линия 1: $x=-1$ Линия 2: $x=2$

3. Горизонтальная асимптота Чтобы понять, как ведет себя функция при очень больших или очень маленьких $x$ (на краях графика), сравним степени числителя и знаменателя. Поскольку старшая степень в числителе ( $2x^2$) и в знаменателе ( $x^2$) одинакова, нужно поделить коэффициенты перед ними: $y=\frac{2}{1}=2$ Результат: При удалении в бесконечность график функции будет стремиться к прямой $y=2$. 4. Точки пересечения с осями

• С осью $Oy$ (подставляем $x=0$):
  $y=\frac{2(0{)}^2+3}{0^2-0-2}=\frac{3}{-2}=-1.5$
  Точка: $(0;-1.5)$. С осью $Ox$ (приравниваем числитель к нулю):
  $2x^2+3=02x^2=-3x^2=-1.5$
  Уравнение не имеет действительных корней.
  Результат: График никогда не пересекает горизонтальную ось $Ox$.

5. Четность и нечетность Проверим симметрию, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x)=\frac{2(-x{)}^2+3}{(-x{)}^2-(-x)-2}=\frac{2x^2+3}{x^2+x-2}$ Полученное выражение не совпадает с исходным и не является его полной противоположностью. Результат: Функция общего вида (ни четная, ни нечетная). Никакой симметрии относительно центра или оси ординат нет. 6. Краткое резюме для понимания

1. График разбит на три части двумя вертикальными «стенами» ( $x=-1$ и $x=2$). Справа и слева (в бесконечности) график прижимается к высоте $y=2$. График пересекает вертикальную ось в точке $-1.5$, но никогда не касается земли (оси $Ox$).

Я могу рассчитать производную этой функции, чтобы найти точки максимума и минимума (экстремумы). Хотите, чтобы я это сделал?