Найти значение производной функции f(x)=e в x степени cos x в точке x в нулевой степени=0

Чтобы найти значение производной функции в заданной точке, воспользуемся правилами дифференцирования произведения и правилами нахождения производных элементарных функций. 1. Определение функции и точки Дана функция: $f\left(x\right)=e^x\cdot \cos x$Точка, в которой нужно найти производную: $x_0=0$2. Нахождение производной в общем виде Так как функция представляет собой произведение двух функций $u\left(x\right)=e^x$ и $v\left(x\right)=\cos x$, применим формулу производной произведения: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

1. Производная первой функции: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ Производная второй функции: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

Подставляем эти значения в формулу: $f^{\prime }\left(x\right)=(e^x{)}^{\prime }\cdot \cos x+e^x\cdot (\cos x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x\cdot \cos x+e^x\cdot (-\sin x)$ $f^{\prime }\left(x\right)=e^x(\cos x-\sin x)$3. Вычисление значения в точке $x_0=0$ Подставим значение $0$ вместо $x$ в полученное выражение для производной: $f^{\prime }\left(0\right)=e^0\cdot (\cos 0-\sin 0)$Вспомним значения тригонометрических функций и экспоненты:

• $e^0=1$ $\cos 0=1$ $\sin 0=0$

Произведем вычисление: $f^{\prime }\left(0\right)=1\cdot (1-0)$ $f^{\prime }\left(0\right)=1\cdot 1$ $f^{\prime }\left(0\right)=1$Ответ: Значение производной функции в точке $x=0$ равно 1. Хотите, чтобы я нашел производную более сложной функции или составил уравнение касательной к этой функции в данной точке?