Решите неравенство (x-1)*(3x-5)<1.

Для решения неравенства $(x-1)(3x-5)<1$ необходимо привести его к стандартному виду квадратного неравенства, найти корни соответствующего уравнения и определить интервалы. 1. Раскрытие скобок и упрощение Сначала перемножим многочлены в левой части: $(x\cdot 3x)+(x\cdot -5)+(-1\cdot 3x)+(-1\cdot -5)<1$ $3x^2-5x-3x+5<1$ $3x^2-8x+5<1$Теперь перенесем единицу в левую часть, чтобы справа остался ноль: $3x^2-8x+5-1<0$ $3x^2-8x+4<0$2. Поиск корней квадратного трехчлена Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$ решим уравнение $3x^2-8x+4=0$ через дискриминант ( $D$): $D=b^2-4ac=(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot 4$ $D=64-48=16$Так как $D>0$, находим два корня: $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{8\pm 4}{2\cdot 3}$

• $x_1=\frac{8+4}{6}=\frac{12}{6}=2$ $x_2=\frac{8-4}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

3. Определение интервалов Графиком функции $f\left(x\right)=3x^2-8x+4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $3>0$). Корни $\frac{2}{3}$ и $2$ разбивают числовую прямую на три интервала:

1. $(-\infty ;\frac{2}{3})$ — функция положительна ( $>0$) $(\frac{2}{3};2)$ — функция отрицательна ( $<0$) $(2;+\infty )$ — функция положительна ( $>0$)

Так как в исходном неравенстве стоит знак $<$ (меньше), нам подходит средний интервал, где значения функции отрицательны. Ответ: $x\in (\frac{2}{3};2)$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложное неравенство с модулем или дробью. Хотите попробовать?