Объем правильной четырехугольной пирамиды sabcd равен 12. точка e — середина ребра sb. найдите объем треугольной пирамиды eabc.

Question

Объем правильной четырехугольной пирамиды sabcd равен 12. точка e — середина ребра sb. найдите объем треугольной пирамиды eabc.

DUST_2006 18.02.2026 14:34

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Объем треугольной пирамиды $E A B C cap E cap A cap B cap C$ равен 3. ️ Шаг 1: Соотношение площадей оснований Основанием исходной правильной четырехугольной пирамиды $S A B C D cap S cap A cap B cap C cap D$ является квадрат $A B C D cap A cap B cap C cap D$ . Пирамида $E A B C cap E cap A cap B cap C$ имеет в основании треугольник $A B C cap A cap B cap C$ . Диагональ квадрата делит его на два равных треугольника, следовательно, площадь треугольника $A B C cap A cap B cap C$ составляет ровно половину площади квадрата $A B C D cap A cap B cap C cap D$ : $S_{A B C} = \frac{1}{2} S_{A B C D} cap S sub cap A cap B cap C end-sub equals one-half cap S sub cap A cap B cap C cap D end-sub$ ️ Шаг 2: Соотношение высот Точка $E cap E$ — середина бокового ребра $S B cap S cap B$ . Проекция точки $S cap S$ на плоскость основания — это высота пирамиды $H cap H$ . Проекция точки $E cap E$ на ту же плоскость будет являться высотой пирамиды $E A B C cap E cap A cap B cap C$ (обозначим её $h h$ ). Согласно теореме о подобии или теореме Фалеса, расстояние от середины отрезка до плоскости в два раза меньше, чем расстояние от его вершины: $h = \frac{1}{2} H h equals one-half cap H$ ️ Шаг 3: Нахождение искомого объема Объем любой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{о с н} h cap V equals one-third cap S sub о с н end-sub h$ . Подставим полученные соотношения в формулу объема для пирамиды $E A B C cap E cap A cap B cap C$ : $V_{E A B C} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{A B C D}) \cdot (\frac{1}{2} H) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{A B C D} H) cap V sub cap E cap A cap B cap C end-sub equals one-third center dot open paren one-half cap S sub cap A cap B cap C cap D end-sub close paren center dot open paren one-half cap H close paren equals one-fourth center dot open paren one-third cap S sub cap A cap B cap C cap D end-sub cap H close paren$ Так как объем всей пирамиды $V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} H = 12 cap V sub cap S cap A cap B cap C cap D end-sub equals one-third cap S sub cap A cap B cap C cap D end-sub cap H equals 12$ , получаем: $V_{E A B C} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 cap V sub cap E cap A cap B cap C end-sub equals one-fourth center dot 12 equals 3$ Ответ: Объем треугольной пирамиды $E A B C cap E cap A cap B cap C$ равен 3. Укажите, требуется ли пошаговый вывод формулы объема через координатный метод для проверки результата?

Объем правильной четырехугольной пирамиды sabcd равен 12. точка e — середина ребра sb. найдите объем треугольной пирамиды eabc.

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов