Ооснованием прямого параллелепипеда 𝑀𝑁𝑃𝑄𝑀1𝑁1𝑃1𝑄1 является квадрат 𝑀𝑁𝑃𝑄, 𝑃1𝑄 = 8√3 , 𝑁𝑄 = 12√2. найдите градусную меру двугранного угла 𝑃𝑀𝑄𝑃1

Градусная мера двугранного угла $PMQ{P}_1$ составляет 30 градусов. Шаг 1: Определение стороны основания Так как в основании прямого параллелепипеда лежит квадрат $MNPQ$, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Зная диагональ $NQ=12\sqrt{2}$ , найдем сторону квадрата $PQ$ по формуле $d=a\sqrt{2}$ , где $a$ — сторона квадрата: $PQ=\frac{NQ}{\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=12$ Шаг 2: Обоснование линейного угла двугранного угла Двугранный угол $PMQ{P}_1$ — это угол между плоскостями $\left(P_{1}MQ\right)$ и $\left(PMQ\right)$. Ребро этого угла — прямая $MQ$.

1. Так как $MNPQ$ — квадрат, то $PQ⟂MQ$. Параллелепипед прямой, следовательно, боковое ребро $P{P}_1$ перпендикулярно плоскости основания ( $P{P}_1⟂\left(MNPQ\right)$). Отрезок $PQ$ является проекцией наклонной $P_{1}Q$ на плоскость основания. Так как $PQ⟂MQ$, то по теореме о трех перпендикулярах $P_{1}Q⟂MQ$. Поскольку $PQ⟂MQ$ и $P_{1}Q⟂MQ$, углом между плоскостями является линейный угол $\angle P_{1}QP$.

Шаг 3: Вычисление градусной меры угла Рассмотрим прямоугольный треугольник $△P_{1}PQ$ ( $\angle P={90}^{\circ }$):

1. Гипотенуза $P_{1}Q=8\sqrt{3}$ . Прилежащий катет $PQ=12$.
   Найдем косинус угла $\angle P_{1}QP$:
   $\cos (\angle P_{1}QP)=\frac{PQ}{P_{1}Q}=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ Следовательно:
   $\angle P_{1}QP=\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)={30}^{\circ }$

Ответ: 30^\circ Проверьте, требуется ли в вашей задаче нахождение синуса или тангенса этого угла для дальнейших вычислений.