Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, диагональ которого, равна 12 см, образует с плоскостью основания угол 45°. вычислите объем цилиндра.

Объем цилиндра составляет $108\pi \sqrt{2}$ ${\text{см}}^3$. Шаг 1: Нахождение высоты и диаметра основания Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $h$ и диаметр основания $d$. Диагональ сечения $L=12$ см образует с плоскостью основания угол $\alpha ={45}^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром: $h=L\cdot \sin \left({45}^{\circ }\right)=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\text{см}$ $d=L\cdot \cos \left({45}^{\circ }\right)=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\text{см}$ Шаг 2: Определение радиуса основания Радиус цилиндра $r$ равен половине диаметра основания: $r=\frac{d}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{см}$ Шаг 3: Вычисление объема цилиндра Объем цилиндра рассчитывается по формуле $V=\pi r^{2}h$. Подставим найденные значения: $V=\pi \cdot (3\sqrt{2}{)}^2\cdot 6\sqrt{2}=\pi \cdot (9\cdot 2)\cdot 6\sqrt{2}=\pi \cdot 18\cdot 6\sqrt{2}=108\pi \sqrt{2}{\text{см}}^3$ Ответ: Объем цилиндра равен $108\pi \sqrt{2}$ ${\text{см}}^3$ (или примерно $479,8$ ${\text{см}}^3$, если принять $\pi \approx 3,14$). Нужно ли перевести финальный результат в десятичную дробь или оставить ответ в радикалах?