Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы 108 см квадратных . диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания призмы под углом 45 градусов . найдите объём призмы

Объем призмы составляет $54\sqrt{3}$ см ${}^3$. ️ Шаг 1: Определение соотношения между стороной основания и высотой Так как призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$, а боковые грани являются прямоугольниками. Пусть высота призмы равна $h$. По условию диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом ${45}^{\circ }$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой диагональю, стороной основания и боковым ребром (высотой). Так как угол равен ${45}^{\circ }$: $\tan \left({45}^{\circ }\right)=\frac{h}{a}$ Поскольку $\tan \left({45}^{\circ }\right)=1$, получаем, что высота призмы равна стороне основания: $h=a$️ Шаг 2: Нахождение стороны основания и высоты Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы вычисляется по формуле $S_{бок}=P_{осн}\cdot h$, где $P_{осн}=3a$ — периметр основания. Подставим известные значения: $3a\cdot h=108$Так как $h=a$, уравнение принимает вид: $3a^2=108$ $a^2=36$ $a=6\text{см}$Следовательно, высота призмы также $h=6$ см. ️ Шаг 3: Вычисление объема призмы Объем призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Основание — правильный треугольник, его площадь: $S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Подставим $a=6$: $S_{осн}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{см}}^2$ Теперь найдем объем: $V=S_{осн}\cdot h=9\sqrt{3}\cdot 6=54\sqrt{3}{\text{см}}^3$ Ответ: Объем призмы равен 54\sqrt{3} см ${}^3$. Укажите, требуется ли перевести полученное значение в десятичную дробь с определенной точностью.