Преобразуйте выражение, используя формулы синуса и косинуса суммы и разности 1)sin(a°+70°) 2)cos(20°+b°) 3)cos(a+π/3) 4)cos(π/3- b) 5)cos(π/4+ y) 6)cos(b- π/2) 7)sin(a+π/4) 8)sin(3π/4+a) 9)sin (ф -π/2) 10)sin(3π/2- b)

Ниже представлены результаты преобразования тригонометрических выражений с использованием формул синуса и косинуса суммы и разности:

1. $\sin {\mathbf{a}}^{\mathbf{\circ }}\cos {70}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{+}\cos {\mathbf{a}}^{\mathbf{\circ }}\sin {70}^{\mathbf{\circ }}$, 2) $\cos {20}^{\mathbf{\circ }}\cos {\mathbf{b}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\sin {20}^{\mathbf{\circ }}\sin {\mathbf{b}}^{\mathbf{\circ }}$, 3) $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\cos \mathbf{a}\mathbf{-}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\sin \mathbf{a}$ , 4) $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\cos \mathbf{b}\mathbf{+}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\sin \mathbf{b}$ , 5) $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\cos \mathbf{y}\mathbf{-}\sin \mathbf{y}\mathbf{)}$ , 6) $\sin \mathbf{b}$, 7) $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\sin \mathbf{a}\mathbf{+}\cos \mathbf{a}\mathbf{)}$ , 8) $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\cos \mathbf{a}\mathbf{-}\sin \mathbf{a}\mathbf{)}$ , 9) $\mathbf{-}\cos \mathbf{\varphi }$, 10) $\mathbf{-}\cos \mathbf{b}$.

Шаг 1: Применение формул суммы и разности для углов в градусах Для первых двух выражений используются формулы $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ и $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$:

1. $\sin (a^{\circ }+{70}^{\circ })=\sin a^{\circ }\cos {70}^{\circ }+\cos a^{\circ }\sin {70}^{\circ }$ $\cos ({20}^{\circ }+b^{\circ })=\cos {20}^{\circ }\cos b^{\circ }-\sin {20}^{\circ }\sin b^{\circ }$

Шаг 2: Вычисления для табличных значений $\pi /3$ и $\pi /4$ Подставляем значения $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ , $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ :

1. $\cos (a+\frac{\pi }{3})=\cos a\cos \frac{\pi }{3}-\sin a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a$ $\cos (\frac{\pi }{3}-b)=\cos \frac{\pi }{3}\cos b+\sin \frac{\pi }{3}\sin b=\frac{1}{2}\cos b+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin b$ $\cos (\frac{\pi }{4}+y)=\cos \frac{\pi }{4}\cos y-\sin \frac{\pi }{4}\sin y=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos y-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin y$ $\sin (a+\frac{\pi }{4})=\sin a\cos \frac{\pi }{4}+\cos a\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a$ Для $\sin (\frac{3\pi }{4}+a)$ учитываем, что $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , а $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ :
   $\sin (\frac{3\pi }{4}+a)=\sin \frac{3\pi }{4}\cos a+\cos \frac{3\pi }{4}\sin a=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$

Шаг 3: Вычисления для граничных углов осей Используем значения функций для углов $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$ :

1. $\cos (b-\frac{\pi }{2})=\cos b\cos \frac{\pi }{2}+\sin b\sin \frac{\pi }{2}=\cos b\cdot 0+\sin b\cdot 1=\sin b$ $\sin (\varphi -\frac{\pi }{2})=\sin \varphi \cos \frac{\pi }{2}-\cos \varphi \sin \frac{\pi }{2}=\sin \varphi \cdot 0-\cos \varphi \cdot 1=-\cos \varphi$ $\sin (\frac{3\pi }{2}-b)=\sin \frac{3\pi }{2}\cos b-\cos \frac{3\pi }{2}\sin b=-1\cdot \cos b-0\cdot \sin b=-\cos b$

Ответ:

1. $\sin \mathbf{a}\cos {70}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{+}\cos \mathbf{a}\sin {70}^{\mathbf{\circ }}$ $\cos {20}^{\mathbf{\circ }}\cos \mathbf{b}\mathbf{-}\sin {20}^{\mathbf{\circ }}\sin \mathbf{b}$ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\cos \mathbf{a}\mathbf{-}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\sin \mathbf{a}$ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\cos \mathbf{b}\mathbf{+}\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\sin \mathbf{b}$ $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\cos \mathbf{y}\mathbf{-}\sin \mathbf{y}\mathbf{)}$ $\sin \mathbf{b}$ $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\sin \mathbf{a}\mathbf{+}\cos \mathbf{a}\mathbf{)}$ $\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{(}\cos \mathbf{a}\mathbf{-}\sin \mathbf{a}\mathbf{)}$ $\mathbf{-}\cos \mathbf{\varphi }$ $\mathbf{-}\cos \mathbf{b}$

Нужно ли вам упростить полученные выражения дальше или вынести общие множители за скобки?