При каких целых значениях n дробь (n^2-n+3)/(n+1) является целым числом

Чтобы найти все целые значения $n$, при которых выражение $\frac{n^2-n+3}{n+1}$ является целым числом, воспользуемся методом выделения целой части дроби. 1. Деление многочлена на многочлен Разделим числитель $n^2-n+3$ на знаменатель $n+1$ «уголком» или методом группировки слагаемых: $n^2-n+3=n^2+n-2n-2+5$ $n^2-n+3=n(n+1)-2(n+1)+5$Теперь подставим это выражение в исходную дробь: $\frac{n^2-n+3}{n+1}=\frac{n(n+1)-2(n+1)+5}{n+1}$ $\frac{n^2-n+3}{n+1}=\frac{n(n+1)}{n+1}-\frac{2(n+1)}{n+1}+\frac{5}{n+1}$ $\frac{n^2-n+3}{n+1}=n-2+\frac{5}{n+1}$ 2. Анализ полученного выражения Для того чтобы результат был целым числом, необходимо, чтобы каждое слагаемое было целым. Так как $n$ — целое число, то $(n-2)$ всегда будет целым. Следовательно, дробь $\frac{5}{n+1}$ также должна принимать целые значения. Это возможно только в том случае, если знаменатель $(n+1)$ является делителем числа 5. 3. Поиск возможных значений n Число 5 имеет следующие целые делители: $1,-1,5,-5$. Составим и решим четыре уравнения:

1. $n+1=1⟹\mathbf{n}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $n+1=-1⟹\mathbf{n}\mathbf{=}-2$ $n+1=5⟹\mathbf{n}\mathbf{=}\mathbf{4}$ $n+1=-5⟹\mathbf{n}\mathbf{=}-6$

4. Проверка Подставим найденные значения в исходную дробь:

• При $n=0$: $\frac{0-0+3}{1}=3$ (целое) При $n=-2$: $\frac{4+2+3}{-1}=-9$ (целое) При $n=4$: $\frac{16-4+3}{5}=\frac{15}{5}=3$ (целое) При $n=-6$: $\frac{36+6+3}{-5}=\frac{45}{-5}=-9$ (целое)

Ответ: $n\in \{-6,-2,0,4\}$ Я могу также помочь с решением аналогичных задач, где требуется найти значения параметров для сократимости дробей или целочисленности систем уравнений. Хотите рассмотреть пример с более сложным числителем?