Найдите промежутки возрастания функции y= -x3+2x2

Для нахождения промежутков возрастания функции необходимо исследовать знак её первой производной. Функция возрастает на тех интервалах, где её производная положительна. 1. Нахождение производной функции Дана функция: $y=-x^3+2x^2$Используя правила дифференцирования $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, находим производную: $y^{\prime }=(-x^3{)}^{\prime }+(2x^2{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=-3x^2+4x$2. Определение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $-3x^2+4x=0$Вынесем $x$ за скобки: $x(-3x+4)=0$Отсюда получаем два корня:

1. $x_1=0$
2. $-3x+4=0⟹3x=4⟹$ $x_2=\frac{4}{3}$ (или $1\frac{1}{3}$ )

3. Исследование знака производной Разбиваем числовую прямую на три интервала полученными точками: $(-\infty ;0)$, $(0;\frac{4}{3})$ и $(\frac{4}{3};+\infty )$ . Определим знак производной $y^{\prime }=-3x^2+4x$ на каждом из них:

• Интервал $(-\infty ;0)$: Возьмем $x=-1$.
  $y^{\prime }\left(-1\right)=-3(-1{)}^2+4(-1)=-3-4=-7$ (знак минус, функция убывает). Интервал $(0;\frac{4}{3})$ : Возьмем $x=1$.
  $y^{\prime }\left(1\right)=-3(1{)}^2+4(1)=-3+4=1$ (знак плюс, функция возрастает). Интервал $(\frac{4}{3};+\infty )$ : Возьмем $x=2$.
  $y^{\prime }\left(2\right)=-3(2{)}^2+4(2)=-12+8=-4$ (знак минус, функция убывает).

Ответ Функция возрастает на промежутке, где $y^{\prime }\ge 0$. Согласно проведенному анализу, этим промежутком является: $[0;\frac{4}{3}]$

Примечание: В школьной программе точки обычно включают в промежуток возрастания/убывания, если функция в них непрерывна.

Я могу также найти точки экстремума (минимумы и максимумы) для этой функции. Хотите, чтобы я это сделал?