Решить иррациональные уравнения 1) √(5-x) - √(5+x)=2 2) √(x-2) + √(x+6)=4 3) √(5x-3) - √(2x+1)=√(3x-2)

Question

Решить иррациональные уравнения 1) √(5-x) - √(5+x)=2 2) √(x-2) + √(x+6)=4 3) √(5x-3) - √(2x+1)=√(3x-2)

KnightHawk 09.02.2026 15:35

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Ответы к уравнениям: 1) $x = -4 x equals negative 4$ ; 2) $x = 3 x equals 3$ ; 3) Нет решений. Шаг 1: Решение первого уравнения Для уравнения $\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x} = 2 the square root of 5 minus x end-root minus the square root of 5 plus x end-root equals 2$ определим область допустимых значений (ОДЗ): $5 - x \geq 0 x \leq 5 5 minus x is greater than or equal to 0 implies x is less than or equal to 5$ $5 + x \geq 0 x \geq -5 5 plus x is greater than or equal to 0 implies x is greater than or equal to negative 5$ $x \in [-5, 5] x is an element of open bracket negative 5 comma 5 close bracket$ . Перенесем один корень в правую часть: $\sqrt{5 - x} = 2 + \sqrt{5 + x} the square root of 5 minus x end-root equals 2 plus the square root of 5 plus x end-root$ Возведем обе части в квадрат: $5 - x = 4 + 4 \sqrt{5 + x} + 5 + x 5 minus x equals 4 plus 4 the square root of 5 plus x end-root plus 5 plus x$ $-2 x - 4 = 4 \sqrt{5 + x} negative 2 x minus 4 equals 4 the square root of 5 plus x end-root$ $- x - 2 = 2 \sqrt{5 + x} negative x minus 2 equals 2 the square root of 5 plus x end-root$ Условие возведения в квадрат: $- x - 2 \geq 0 x \leq -2 negative x minus 2 is greater than or equal to 0 implies x is less than or equal to negative 2$ . $x^{2} + 4 x + 4 = 4 (5 + x) x squared plus 4 x plus 4 equals 4 open paren 5 plus x close paren$ $x^{2} + 4 x + 4 = 20 + 4 x x squared plus 4 x plus 4 equals 20 plus 4 x$ $x^{2} = 16 x squared equals 16$ $x = 4 x equals 4$ или $x = -4 x equals negative 4$ . С учетом условий $x \in [-5, 5] x is an element of open bracket negative 5 comma 5 close bracket$ и $x \leq -2 x is less than or equal to negative 2$ , подходит только $x = -4 x equals negative 4$ . Шаг 2: Решение второго уравнения Для уравнения $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4 the square root of x minus 2 end-root plus the square root of x plus 6 end-root equals 4$ ОДЗ: $x \geq 2 x is greater than or equal to 2$ . Возведем в квадрат: $(x - 2) + 2 \sqrt{(x - 2) (x + 6)} + (x + 6) = 16 open paren x minus 2 close paren plus 2 the square root of open paren x minus 2 close paren open paren x plus 6 close paren end-root plus open paren x plus 6 close paren equals 16$ $2 x + 4 + 2 \sqrt{x^{2} + 4 x - 12} = 16 2 x plus 4 plus 2 the square root of x squared plus 4 x minus 12 end-root equals 16$ $2 \sqrt{x^{2} + 4 x - 12} = 12 - 2 x 2 the square root of x squared plus 4 x minus 12 end-root equals 12 minus 2 x$ $\sqrt{x^{2} + 4 x - 12} = 6 - x the square root of x squared plus 4 x minus 12 end-root equals 6 minus x$ Условие: $6 - x \geq 0 x \leq 6 6 minus x is greater than or equal to 0 implies x is less than or equal to 6$ . $x^{2} + 4 x - 12 = 36 - 12 x + x^{2} x squared plus 4 x minus 12 equals 36 minus 12 x plus x squared$ $16 x = 48 16 x equals 48$ $x = 3 x equals 3$ Число $33$ входит в ОДЗ и удовлетворяет условию. Шаг 3: Решение третьего уравнения Для уравнения $\sqrt{5 x - 3} - \sqrt{2 x + 1} = \sqrt{3 x - 2} the square root of 5 x minus 3 end-root minus the square root of 2 x plus 1 end-root equals the square root of 3 x minus 2 end-root$ ОДЗ: $x \geq \frac{2}{3} x is greater than or equal to two-thirds$ . Перенесем корень: $\sqrt{5 x - 3} = \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{2 x + 1} the square root of 5 x minus 3 end-root equals the square root of 3 x minus 2 end-root plus the square root of 2 x plus 1 end-root$ Возведем в квадрат: $5 x - 3 = (3 x - 2) + 2 \sqrt{(3 x - 2) (2 x + 1)} + (2 x + 1) 5 x minus 3 equals open paren 3 x minus 2 close paren plus 2 the square root of open paren 3 x minus 2 close paren open paren 2 x plus 1 close paren end-root plus open paren 2 x plus 1 close paren$ $5 x - 3 = 5 x - 1 + 2 \sqrt{6 x^{2} - x - 2} 5 x minus 3 equals 5 x minus 1 plus 2 the square root of 6 x squared minus x minus 2 end-root$ $-2 = 2 \sqrt{6 x^{2} - x - 2} negative 2 equals 2 the square root of 6 x squared minus x minus 2 end-root$ $-1 = \sqrt{6 x^{2} - x - 2} negative 1 equals the square root of 6 x squared minus x minus 2 end-root$ Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Ответ:

$x = -4 x equals negative 4$ ; 2) $x = 3 x equals 3$ ; 3) решений нет.

Нужно ли разобрать проверку полученных корней подстановкой в исходные условия или перейдем к другим задачам?

Решить иррациональные уравнения 1) √(5-x) - √(5+x)=2 2) √(x-2) + √(x+6)=4 3) √(5x-3) - √(2x+1)=√(3x-2)

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов