∫x^2dx\(1+x^3) неопределённый интеграл

Для решения неопределенного интеграла $\int \frac{x^2}{1+x^3}dx$ наиболее эффективным методом является метод введения под знак дифференциала (или замена переменной). Решение Заметим, что производная знаменателя $1+x^3$ равна $3x^2$, что с точностью до константы совпадает с выражением в числителе.

1. Преобразование дифференциала:
   Вспомним, что $d(1+x^3)=3x^{2}dx$. Отсюда следует:
   $x^{2}dx=\frac{1}{3}d(1+x^3)$ Подстановка в интеграл:
   $\int \frac{x^2}{1+x^3}dx=\int \frac{\frac{1}{3}d(1+x^3)}{1+x^3}$ Вынесение константы и интегрирование:
   Вынесем множитель $\frac{1}{3}$ за знак интеграла. Получим табличный интеграл вида $\int \frac{du}{u}=\ln \left|u\right|+C$ :
   $\frac{1}{3}\int \frac{d(1+x^3)}{1+x^3}=\frac{1}{3}\ln |1+x^3|+C$

Ответ: $\int \frac{x^2}{1+x^3}dx=\frac{1}{3}\ln |1+x^3|+C$ Где C — произвольная постоянная. Проверка (дифференцирование результата): Чтобы убедиться в правильности, найдем производную от полученного ответа: ${\left(\frac{1}{3}\ln \right|1+x^3|+C)}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1+x^3}\cdot (1+x^3{)}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \frac{3x^2}{1+x^3}=\frac{x^2}{1+x^3}$ Результат совпадает с под­интегральной функцией. Я могу также рассчитать для вас определенный интеграл на заданном отрезке или решить более сложный пример с разложением на элементарные дроби.