Решить неравенства: а) sin t > 0 б) sin t √3/2

Ниже представлено подробное решение тригонометрических неравенств. а) sin t > 0 Для решения этого неравенства обратимся к единичной окружности. Синус угла $t$ соответствует ординате (координате $y$) точки на окружности.

1. Условие $\sin t>0$ выполняется, когда точка находится в верхней полуплоскости (I и II четверти), не включая точки на оси $Ox$. На интервале $[0;2\pi ]$ это соответствует значениям $t$ от $0$ до $\pi$. Учитывая периодичность функции синус ( $T=2\pi$), к границам интервала необходимо добавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $2\pi k<t<\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$. б) sin t ≥ √3/2 (предполагая знак ≥) Если в условии пропущен знак неравенства, наиболее вероятно решение для $\sin t\ge \sqrt{3}/2$ или $\sin t>\sqrt{3}/2$ . Ниже приведено решение для нестрогого неравенства $\ge$.

1. Найдем точки на единичной окружности, где $\sin t=\sqrt{3}/2$ . Это значения $t=\pi /3$ и $t=2\pi /3$. Неравенству $\sin t\ge \sqrt{3}/2$ соответствуют точки дуги, расположенные выше прямой $y=\sqrt{3}/2$ или на ней. Эта дуга начинается в точке $\pi /3$ и заканчивается в точке $2\pi /3$ (при движении против часовой стрелки). Добавляем период $2\pi k$ для общего решения.

Ответ: $\pi /3+2\pi k\le t\le 2\pi /3+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$. Примечание: Если подразумевался знак $\le$, то решением будет внешняя часть дуги: $-\pi -\pi /3+2\pi k\le t\le \pi /3+2\pi k$, что упрощается до $-4\pi /3+2\pi k\le t\le \pi /3+2\pi k$ или $2\pi /3+2\pi k\le t\le 7\pi /3+2\pi k$. Уточните, какой знак неравенства (больше, меньше, равно) должен стоять во втором примере для финальной проверки корректности интервалов.