Почему 5+5=10

Равенство 5 + 5 = 10 является базовым утверждением арифметики, которое можно обосновать с трех уровней сложности: интуитивного, системного и аксиоматического. 1. Интуитивно-эмпирический уровень На самом простом уровне число «5» представляет собой количество объектов в группе. Если мы возьмем две группы по пять предметов и объединим их в одну, то при последовательном пересчете (1, 2, 3, 4, 5... и далее 6, 7, 8, 9, 10) общее количество составит десять. Этот принцип лежит в основе формирования понятия натурального числа как результата счета. 2. Системный уровень (Основание счисления) В нашей стандартной десятичной системе счисления число «10» является основанием. Оно записывается как «1» в разряде десятков и «0» в разряде единиц.

• Сумма двух пятерок заполняет один полный цикл счета до основания системы.
• В других системах счисления результат выглядел бы иначе. Например, в пятеричной системе (где цифры только 0, 1, 2, 3, 4) выражение 5 + 5 записывалось бы как ${10}_5+{10}_5={20}_5$, что по значению все равно эквивалентно десяти привычным единицам.

3. Формально-математический уровень (Аксиомы Пеано) В строгой математике это равенство доказывается через аксиомы Пеано, где каждое число определяется через предыдущее с помощью функции следования $S\left(n\right)$:

• Число 1 — это $S\left(0\right)$, число 2 — это $S\left(1\right)$ и так далее. Сложение определяется рекурсивно: $a+S\left(b\right)=S(a+b)$. Выражение 5 + 5 разворачивается как последовательное прибавление единиц:
  1. $5+1=6$ $6+1=7$ $7+1=8$ $8+1=9$ $9+1=10$

Таким образом, 10 — это по определению число, которое следует за числом 9, которое в свою очередь получено пятью шагами инкрементации от числа 5. Хотите разобрать, как это равенство доказывается в рамках теории множеств через мощность объединения?